Расскажи друзьям!

Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший  общий делитель, наименьшее общее кратное

Натуральное число является одним из основных, и, возможно, одним из первых понятий математики.

Множество натуральных чисел = {1, 2, 3…}. То есть, множество натуральных чисел – это множество всех целых положительных чисел. Над натуральными числами определены операции сложения, умножения,  вычитания  и деления. Результатом сложения, умножения и вычитания двух натуральных чисел является целое число. А результатом деления двух натуральных чисел может быть, как целое, так и дробное число.  

Например: 20 : 4 = 5 – результат деления – целое число.
20 : 3 = 6 2/3 – результат деления – дробное число.
Говорят, что натуральное число n делится на натуральное число m , если результатом деления является целое число. При этом  число m называют делителем числа n, а число n называют кратным числа m.

В первом примере число 20 делится на 4, 4 является делителем числа 20 , число 20 является кратным числа 4.
Во втором примере число 20 не делится на число 3, соответственно, не может быть и речи о делителях и кратных.

Число n называется простым, если у него нет делителей, кроме него самого и единицы. Примеры простых чисел: 2, 7, 11, 97 и т. д.
Число n называется составным, если у него есть делители, отличные от него самого и единицы.

Любое натуральное число можно разложить в произведение простых, причем это разложение единственно, с точностью до порядка множителей. Например: 36=2 • 2 • 3 • 3 = 2 • 3 • 2 • 3 = 3 • 2 • 3 • 2 – все эти разложения отличаются только порядком множителей.

Наибольшим общим делителем двух чисел m и n  называется наибольшее натуральное число, являющееся делителем и числа m , и делителем числа n. Например, у чисел 34 и 85 наибольшим общим делителем является число 17.

Наименьшим общим кратным двух чисел m и n называется наименьшее натуральное число, кратное и числу m , и  числу n. Например, у чисел 15 и 4 наименьшим общим кратным будет число 60.

Натуральное число, делясь на два простых числа, делится и на их произведение. Например, если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6 = 2 • 3, если на 11 и на 7, то и на 77.

Пример: число 6930 делится на 11 - 6930: 11 =  630 , и делится на 7 - 6930: 7 =  990. Можно смело утверждать, что это число делится и на 77. Проверим: 6930: 77 = 90.

Алгоритм разложения числа n на простые множители:

1.  Находим наименьший простой делитель числа n (отличный от 1) - a1.
2.  Делим  число n на a1,  частное обозначим n1.
3.  n=a1 • n1.
4.  Проделываем ту же операцию с n1 до тех пор, пока не получим  простое число.

Пример: Разложить число 17 136 на простые множители

1.  Наименьший простой делитель, отличный от 1, здесь 2.

2.  17 136: 2 = 8 568;

3.  17 136 = 8 568 • 2.

4.  Наименьший простой делитель числа 8 568 – 2.

5.  8 568: 2 = 4284;

6.  17 136  = 4284 • 2 • 2.

7.  Наименьший простой делитель числа 4284 – 2.

8.  4284: 2 = 2142;

9.  17 136 = 2142 • 2 • 2 • 2.

10. Наименьший простой делитель числа 2142 – 2.

11. 2142: 2 = 1071;

12. 17 136 = 1071 • 2 • 2 • 2 • 2.

13. Наименьший простой делитель числа 1071 – 3.

14. 1071: 3 = 357;

15. 17 136  = 357 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2.

16. Наименьший простой делитель числа 357 – 3.

17. 357: 3 = 119;

18. 17 136  = 119 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2.

19. Наименьший простой делитель числа 119 – 7.

20. 119: 7 = 17;

21. 17 – простое число, значит 17 136 = 17 • 7 • 3 • 3 • 2 • 2 • 2 • 2.



Мы получили разложение числа 17 136 на простые множители.