Расскажи друзьям!

Признаки делимости на 2, 3

Иногда, производя какие-то действия с числами (например, разложение на множители), нужно знать, делится оно на какое-то число или нет. Можно, конечно, просто разделить столбиком одно число на другое и увидеть, делится оно без остатка на это число или нет. Но, это бывает достаточно громоздко. Быстро определить, является ли одно число делителем другого, помогают признаки делимости.

Число называется четным, если оно делится на 2.

Число называется нечетным, если оно не делится на 2.

Четные цифры – это 0, 2, 4, 6, 8.

Нечетные цифры – это 1, 3, 5, 7, 9.



Натуральное число делится на 2, если его запись заканчивается четной цифрой. По определению, это число будет четным.

Доказательство:

пусть запись числа имеет вид к1 к2 к3 к4… кn , где к1, к2, к3, к4,… кn  - некоторые цифры от 0 до 9, при этом цифра кn – четная. Тогда число можно представить в виде к1•10n-1+ к2•10n-2 +к3•10n-3+… +кn

(например, число 3452 = 3 • 103 + 4 • 102+ 5 • 10 + 2). Очевидно, что первые слагаемые этой суммы делятся на 10, а значит, и на 2. А последнее слагаемое делится на 2 по условию. Следовательно, число делится на два.



Натуральное число не делится на 2, если его запись заканчивается нечетной цифрой.

Доказательство аналогично предыдущему.



Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3

Рассмотрим некоторое число, например 7941.

7941 = 7000 + 900 + 40 + 1 = (999+1) • 7 + (99+1) • 9 + (9+1) • 4 +1 = 999 • 7 + 7 + 99 • 9 + 9 + 9 • 4 + 4 + +1 = (999 • 7 + 99 • 9 + 9 • 4) + (7 + 9 + 4 + 1). Очевидно, что первое слагаемое полученной суммы делится на 3, следовательно, если второе делится на 3, то и вся сумма делится на 3.



Натуральное число не делится на 3, если  сумма его цифр не делится на 3.

Доказательство аналогично предыдущему.



Примеры:

Число 452 делится на 2, так как заканчивается на четную цифру, но не делится на 3,

так как 4 + 5 +2 = 11, а 11 не делится на 3.

Число 2005 не делится на 2, так как заканчивается на нечетную цифру, и не делится на 3,

так как 2 + 0 + 0 + 5 = 7, а 7 не делится на 3.

Число 2712 делится на 2, так как заканчивается на четную цифру, и делится на 3, так как 2 + 7 + 1 + 2 = 12, а 12 делится на 3.