Расскажи друзьям!

Решение иррациональных неравенств

Неравенства вида Неравенство решаются по следующей схеме:

1. Находят ОДЗ. Для этого решают неравенство f1(x) ≥ 0.

2. Если стоит знак > или ≥, то ту часть ОДЗ, где f2(x) < 0 сразу принимают в множество решений неравенства, а если < или ≤, то сразу исключают. Чтобы это определить решают неравенство  f2(x) < 0 и пересекают полученное решение с ОДЗ.

3. Для той части ОДЗ, где  f2(x) ≥ 0 обе части неравенства положительны - можно возводить в квадрат. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только тогда, когда обе части положительны. Возведя в квадрат, получим неравенство, найдем его решения, и это множество решений пересечем с ОДЗ. Полученное множество, объединенное с множеством, полученным в пункте 2. будет искомым решением.

 

Пример:

Решить неравенство Неравенство

Решение:

1 Найдем ОДЗ 8x + 4 ≥ 0, x ≥ 0,5  

2. Решим неравенство x - 2 < 0, x < 2. Получается, что при x < 2 правая часть отрицательна и неравенство будет истинно для всех x < 2, удовлетворяющих ОДЗ. Действительно, левая часть при этом положительна, а положительное число всегда больше отрицательного. Найдем все такие значения переменной x, найдя пересечение этого множества с ОДЗ.

График

Итак, промежуток [-0,5; 2) будет входить в множество решений неравенства.

3. Если x ≥ 2 - обе части положительны, можно возводить в квадрат, получаем 8x + 4 ≥ (x - 2)2.

Решим это неравенство:

8x + 4 ≥ x2 - 4x + 4;

x2 - 12x ≤ 0;

x(x - 12) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

График

Получили промежуток [0; 12]. Пересекаем его с промежутком  и с ОДЗ.

График

Получим промежуток [2; 12]

Ответ: [-0,5; 12].