Расскажи друзьям!

Система уравнений. Решения системы

Системой уравнений называется совокупность уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.

Значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем уравнением системы называются решениями системы.

 

Примеры систем уравнений:

Уравнение

Системы уравнений могут состоять из двух и более уравнений и содержать одну и более переменных. Система уравнений может не иметь решений, иметь несколько решений, иметь бесконечное множество решений. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

В школьной программе изучаются системы, содержащие две переменных.

Для решения различных видов систем разработано много различных методов решения, но   в рамках школьного курса рассматриваются два основных метода.

Первый метод заключается в том, что мы в одном из уравнений выражаем одну переменную через другую. Полученное выражение, подставляем во второе уравнение вместо этой переменной и получаем уравнение с одной неизвестной. Это уравнение с одной неизвестной решаем известными нам способами.

Второй метод заключается в том, что мы умножаем одно из уравнений на подходящее число так, чтобы, сложив это уравнение с другим, исключить одну переменную и получить уравнение с одной неизвестной.    

 

Примеры решения систем уравнений.

1. Решить систему уравнений Уравнение

Решим эту систему обоими методами – ответ должен получиться одинаковый.

 

Первый метод.

Выразим во втором уравнении y через x:

Уравнение

Подставим это выражение в первое уравнение вместо y:

Уравнение

Решим верхнее уравнение с одной неизвестной:

Решение

Мы нашли два возможных значения для первой переменной. Теперь найдем соответствующие значения для второй:

y1 = -(3x+x12) = -(3+22) = -7; y2 = -(3x+x22) = -(3+(-2)2) = -7

Ответ: {(2;-7), (-2;-7)}.

 

Второй метод.

Сложим первое уравнение со вторым – должен исключиться у:

Решение

Решением верхнего уравнения будет два значения х:  x1 = 2; x2 = -2.

Мы нашли два возможных значения для первой переменной. Теперь найдем соответствующие значения для второй, решив второе уравнение, подставив в него вместо х его значения:

-22-y1 = 3, -y1 = 7, y1 = -7;

-(-2)2-y2 = 3, -y2 = 7, y2 = -7.

Ответ: {(2;-7), (-2;-7)}.