Расскажи друзьям!

Геометрическая прогрессия. Формула n - го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем умножения его на одного и того же число q ≠ 0. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать ее первый член a1 и знаменатель q.

Геометрическая прогрессия возрастает при q > 1, убывает при 0 < q < 1.

 

Примеры геометрических прогрессий:

1. 2, 4, 8, 16… . Здесь первый член равен 1, а знаменатель равен 2.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Здесь первый член равен 81, а знаменатель равен 1/3.

Итак, первый член прогрессии равен a1, второй - a1q, третий a1q*q = a1q2, четвертый a1q2*q = a1q3…. Таким образом, n-й член прогрессии вычисляется по формуле an = a1qn-1.

Утверждение: Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

Формула

Доказательство.

Sn = a1+a1q+a1q2+a1q3+...+a1qn-1.

Умножим на , получим:

Snq = a1q+a1q2+a1q3+...a1qn.

Теперь вычтем Snq из Sn.

Получим:

Доказательство

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, если известно, что a1 = 3, q = 4.

Решение.

Решение

2. За одну минуту биомасса увеличивается в 2 раза. Какой вес она будет иметь через  5 минут, если сейчас ее вес 3 кг.

Решение.

Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой a1 = 3, а q = 2 Чтобы решить задачу, нам нужно найти шестой член этой прогрессии.

a6 = a1q6-1 = 3*26-1 = 96.

Ответ: 96.