Расскажи друзьям!

Решение уравнения sin x = а

Корни уравнения sin(x) = a, -1 ⩽ a ⩽ 1 выражаются формулой x = (-1)arcsin(a)+πn, n ∈ Z.

Примечание: Очевидно, что уравнение sin(x) = a не имеет решений, если а не входит в промежуток [-1;1], то есть |a| ⩽ 1

Попробуем разобраться, почему, решения выражаются этой формулой.

Начертим координатную плоскость и тригонометрическую окружность. Синус, по определению,- это  ордината точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол а. Начертим множество всех точек, ординаты которых равны а – это будет прямая y = a. Прямая пересечет окружность в двух точках.

График

Один из углов, соответствующих этой точке будет иметь величину arcsin(a). Этой же точке будет соответствовать и угол arcsin(a)+2π, и угол arcsin(a)+4π, и угол arcsin(a)+6π и т.д.

Все вместе это можно выразить формулой x = arccos(a)+2πn, n ∈ Z.

Один из углов, соответствующих второй точке, будет иметь величину π-arcsin(a). Этой же точке будет соответствовать и угол π-arcsin(a)+2π, и угол π-arcsin(a)+4π, и угол π-arcsin(a)+6π и т.д.

Все вместе это можно выразить формулой x = π-arcsin(a)+2πk, k ∈ Z.

Объединение этих двух формул дает формулу x = (-1)arcsin(a)+πn, n ∈ Z.