Расскажи друзьям!

Работа одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования

Передаточная функция, переходная функция, регулятор, фиксатор нулевого порядка, оптимальное управление, цифровой -фильтр В данной курсовой работе предложено синтезировать и проанализировать работу одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД- закон регулирования. Оптимизация САУ производится по критерию максимальной динамической точности. В завершении был рассчитан цифровой фильтр, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Определение параметров оптимальной настройки регуляторов

Переходные процессы в замкнутой системе при использовании непрерывного регулятора и их анализ

Определение периода квантования цифрового регулятора и его параметров настройки

Анализ устойчивости САУ по критерию Джури и построение переходных процессов в цифровых системах

Расчет цифрового фильтра

Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Заключение

Список литературы

Приложение А

Введение

Развитие всех областей техники в настоящее время характеризуется широкой автоматизацией различных производственных процессов. При этом освобождается труд человека, повышается точность и скорость выполнения операций, что значительно повышает производительность производства.

Автоматизация обеспечивает работу таких объектов, непосредственное обслуживание которых человеком невозможно из-за вредности, отдаленности или быстрого протекания процесса.

В настоящее время резко увеличивается производство различного оборудования для автоматизации промышленности, а также внедряются новые типы автоматических устройств, основанные на последних достижениях науки и техники. Эффективное использование автоматики в народном хозяйстве возможно лишь при условии рационального решения задач на всех этапах ее разработки и освоения. Наиболее ответственным этапом при проектировании систем автоматизации является их синтез, расчет и последующий анализ, которые на сегодняшний день базируются на теории управления. Эта наука позволяет не только найти параметры, при которых система работает устойчиво, различные качественные показатели системы, но также и оптимизировать систему для более рационального использования различных ресурсов.

Определение оптимальных параметров настройки регуляторов

Определение оптимальных параметров настройки П-, ПИ-, ПИД-регуляторов производим по расширенных амплитудно-фазовым характеристикам.

Расширенной амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы называют отношение вектора гармонических вынужденных затухающих колебаний на входе к вектору гармонических затухающих колебаний на входе.

Существуют два показателя степени затухания: Y — относительная степень затухания; m — логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:

, (1.1)

Из предыдущей формулы (1.1) определяем значение логарифмического декремента затухания m:

, (1.2)

Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой система автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1, j0) , т.е.

Wp(m, jw) * Wo(m, jw) = -1, (1.3) или -Wp(m, jw) = 1/ Wo(m, jw) , (1.4) Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристики необходимо в передаточную функцию подставить: p = -mw + jw = w (j-m) .

Рис. 1.1. Структура схемы непрерывной САУ

Передаточная функция нашего исходного объекта имеет следующий далее вид:

, (1.5)

, (1.6)

Формула (1.6) представляет собой инверсную расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта.

Так как заданное значение Y = 0.96, то по формуле (1.2) определим значение m и подставим его в предыдущую формулу расширенной амплитудно-фазовой характеристики, m = 0.512.

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов найдем частоту среза нашего объекта.

Частота среза — это такое значение частоты w = wc, при котором значение амплитуды на выходе не превышало бы трех процентов от амплитуды при нулевой частоте.

Запишем выражение амплитудно-фазовой характеристики нашего объекта:

, (1.7)

Амплитудно-фазовую характеристику объекта можно найти из следующей формулы:

, (1.8)

где Re(w) — вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Jm(w) — мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

.

При нулевой частоте значение амплитуды равно 3.1.

Значит необходимо найти такое w = wс, чтобы

= 0.03*3.1 = 0.093.

Таким образом, необходимо рассчитать уравнение

, (1.9)

Решением этого уравнения является то, что мы находим следующие параметры w = 0.417, следовательно, и wc = 0.417.

Для определения оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (1.6) . Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (1.6) , можно получить расчетные формулы для определения параметров регуляторов [4, ст 250]:

    • П-регулятор:

    • Пи-регулятор:

    • Пид-регулятор:

где С0 = 1/Tu; C1 = Kp; C2 = Tg.

Для ПИД-регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:

В этом случае расчет формулы для ПИД-регулятора принимает следующий далее вид:

где а = w(m2+1) ; ; .

Расчет оптимальных параметров настройки для П-регулятора представлен следующим образом: , (1.10)

Из второго уравнения системы (1.10) найдем w и подставим это значение в первое уравнение системы. При решении получи, что w = 0.354 и оптимальными параметрами настройки П-регулятора является значение Кропт = 1.01.

Рассчитываем оптимальные значения параметров настройки для ПИ-регулятора.

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С1С0 и С1, соответствующие требуемой степени затухания Y. Оптимальным параметром является точка на линии, равной степени затухания С1С0 = f(С1) , лежащая справа от глобального максимума. Эти параметры обеспечивают:

.

Итак, запишем далее следующую систему уравнений для Пи-регулятора:

, (1.11)

Таблица 1.2

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИ-регулятора

w

C0

C1

C1C0

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.417 0.5

0 0.029 0.073 0.059 -0.09 -0.134 -0.443

-0.323 0.117 0.382 0.777 1.228 1.307 1.753

0 4.858*10-4

0.028 0.046 -0.11 -0.175 -0.777

Рис. 1.2. График зависимости С1С0 = f(C1) для Пи-регулятора

Максимальное значение функции С1С0 = 0.048 при С1 = 0.694. Берем точку правее глобального максимума С1 = 0.777, С1С0 = 0.0459. Решив систему уравнений (1.11) получим оптимальные параметры настройки Кропт = 0.777, Tuопт = 16.928.

Рассчитываем оптимальные параметры настройка для ПИД-регулятора: , (1.12)

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находим точки С1С0 и С1, соответствующие требуемой степени колебательности m = 0.512, решив систему (1.12) . Данные расчетов представлены в таблице 1.1. По эти данным построим график зависимости С1С0 = f(С1) .

Таблица 1.1

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИД-регулятора

w

C0

C1

C1C0

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.417 0.5

0 0.12 0.2

0.226 0.184 0.172 0.113

-0.323 0.097 0.485 0.913 1.447 1.556 2.206

0 0.012 0.097 0.207 0.266 0.268 0.25

Рис. 1.3. График зависимости С1С0 = f(C1)

Нужно взять точку, лежащую справа от глобального максимума. Максимальное значение С1С0 =0.268, при С1 = 1.576. Берем точку С1С0 = 0.2592 при С1 =1.9456. По этим значениям определим оптимальные параметры регулятора:

Таким образом, оптимальные параметры настройки для ПИД-регулятора:

Переходные процессы в замкнутых системах

Запишем выражение передаточной функции для системы в замкнутом состоянии:

, (2.1)

где

Тогда выражение (2.1) будут иметь вид:

, (2.2)

Найдем передаточную функцию для замкнутой системы с П-регулятором, т.е. Wp(p) = Кp. Кp — оптимальное значение, найденное в первом разделе, т.е. Кp = 1.01.

Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором имеет следующий вид:

, (2.3)

Переходная функция замкнутой системы:

, (2.4)

Найдем полюса функции (2.4) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p1 = 0; p2 = — 0.435; p3 = — 0.181 — j0.34; p4 = — 0.181 + j0.34.

Переходная функция для замкнутой системы с П-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 0.757-0.052e-0.424t * cos(0.254t) — 0.3857e-0.181t * sin(0.354t) .

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.1.

Рис. 2.1. Переходный процесс в замкнутой системе с П-регулятором Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.е.:

.

В качестве Кр и Тu берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем Кр = 0.777 и Тu = 16.928. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид:

, (2.5)

Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИ-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1) :

, (2.6)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.7)

Найдем полюса функции (2.7) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p1 = — 0.421; p2 = — 0.075; p3 = — 0.149 — j0.29; p4 = — 0.149 + j0.29; p5 = 0.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1- 0.0609e-0.421t — 0.757e-0.148t *cos(0.29t) -0.4870.148t *sin(0.29t) -0.181e-0.075t

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИ-регулятором

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИД-регулятором, т.е.:

.

В качестве Кр, Тu и Тg берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем Кр = 1.9456, Тu = 7.506, и Тg = 0.976. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид: , (2.8)

Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИД-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1)

: , (2.9)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.10)

Найдем полюса функции (2.10) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p1 = 0; p2 = -0.405 — j0.116; p3 = -0.405 + j0.116; p4 = -0.039 — j0.192; p5 = -0.039 + j0.192.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1 — 0.2927e-0.404t*cos(0.1157t) - 0.032e-0.404t*sin(0.1157t) - 0.6934e-0.038t*cos(0.1918t) - 0.2055e-0.0388t*sin(0.1918t) .

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.3.

Рис. 2.3. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИД-регулятором

Определение периода квантования цифрового регулятора и пересчет его параметров

Необходимо выяснить соответствие коэффициентов неопределенного и цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора строим амплитудно–частотную характеристику замкнутой системы и определяем частоту среза, при которой значение амплитуды на выходе не превышает три проценты от амплитуды при нулевом значении частоты.

Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для всех типов регуляторов) , которые были найдены во втором задании курсовой работы.

Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором:

, (3.1)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ– регулятором:

, (3.2)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором:

, (3.3)

Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с П-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.4)

Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.5)

Выражение амплитудно — частотной характеристики для системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.6)

Так как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида: . (3.7) При решении уравнений было получено:

    • -частота среза для системы, имеющей в своем составе П-регулятор wс = 2.25;
    • -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИ-регулятор wс = 1.6738;
    • -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИД-регулятор wс = 3.8194.

Частоту измерений принимают как:

, (3.8)

где wc = 3.8194 (наибольшее значение) , при котором период квантования равен T0 = 0.411.

Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.

В общем виде дискретную передаточную функцию искомого элемента можно записать следующим образом:

. (3.9)

В нашем случае выражение (3.9) примет вид:

, (3.10)

где ; ; .

C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.

Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:

    • П-регулятор

Wp(p) = 1.01; (3.11)

    • ПИ-регулятор

; (3.12)

    • ПИД-регулятор

. (3.13)

После вычисления коэффициентов q0, q1 и q2 дискретные передаточные функции будут иметь вид:

    • П-регулятор

; (3.14)

    • ПИ-регулятор

; (3.15)

    • ПИД-регулятор

. (3.17)

Анализ устойчивости системы автоматического управления по критерию Джури и построение переходных процессов в цифровых системах

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора) , фиксатора и приведенной непрерывной части.

Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, (4.1)

то с учетом того, что z = e –pT, эту функцию можно записать в следующем далее виде:

. (4.2)

Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:

. (4.3)

Так как , переходная функция линейной части системы, то z — передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:

. (4.4)

Найдем выражение для передаточной функции линейной части:

. (4.5)

Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

() *р = 0.

Решив данное уравнение, мы получили, что его корни следующего вида: p1 = 0; p2 = — 0,2; p3 = — 0,33; p4= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид: h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1. (4.6) С учетом формулы (4.4) получаем

.

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной части и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W3(z) для каждой из систем:

    • система с П-регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн. ч. (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

; (4.10)

    • система с ПИ-регулятором.

;

Wн. ч. (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

; (4.11)

    • система с ПИД-регулятором.

,

Wн. ч. (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

. (4.12)

После того, как получим выражение дискретных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) — характкристический полином: A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке: A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.

Разделим A(z) на обратный ему. В итоге получаем частное от деления число q0 и остаток А1(z) — полином n-1 степени.

Домножим полученный результат на z-1. Получаем: A1(z) = (a0-anq0) zn-1 + … + (an-1-a1q0) .

Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое q1 и A2(z) и т.д.

Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z) , получаем последовательность чисел qi = {q0, q1, q2, …, qn-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства: А(1) =(a0+ a1+ a2+…+an) >0; (-1) nА(-1) =(a0(-1) n + a1(-1) n-1 +…+an) >0; |qi|<1, i=0,1,2, …, n-2.

Используя вышеизложенное, определим устойчивость наших систем.

Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид: А(1) = 1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817=0.003039>0.

(-1) 3A(-1) = -(1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817) >0.

А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z — 0.7817 Обратный полином .

Разделим A(z) на A0(z) .

-()

-0.7817=q0, |q0|<1

0,3852z-0,7686z2+0,3888z3

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A1(z) = 0,3852-0,7686z+0,3888z2, A10(z) = 0,3888-0,7686z+0,3852z2.

Разделим A1(z) на A10(z) .

0,3852-0,7686z+0,3888z2

0,3888-0,7686z+0,3852z2

-(0,3852-0,7614z+0,3816z2)

0,99065=q1, |q1|<1

-0.00718z+0.00723z2

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A2(z) = 0.007238z-0.007187.

В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=4. Множество qi = {q0, q1, q2}.

А(1) = >0.

(-1) 4A(-1) = >0.

.

Обратный полином: .

Разделим A(z) на A0(z) .

0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4

1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4

-(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z4)

0,783447=q0, |q0|<1

-0,383z+1.147z2-1.1506z3+0,3861 z4

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A1(z) = -0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3, A10(z) = -0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3.

Разделим A1(z) на A10(z) .

-0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3

-0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3

-(-0,383+1.141z-1.138z2 +0,3801 z3)

-0,992116=q1, |q1|<1

0,006046z-0,01207z2+0,00605z3

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A2(z) = 0,006046z-0,01207z2+0,00605z3, A20(z) = 0,00605-0,005474z2-0,006046z3.

Разделим A2(z) на A20(z) .

0,006046z-0,01207z2+0,00605z3

0,00605-0,005474z2-0,006046z3

-(0,006046z-0,01207z2+0,00603z3)

0,99774=q2, |q2|<1

-0,000027278z+0,000027353z2

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A3(z) = -0,000027278z+0,000027353z2

В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

Система с ПИД-регулятором.

Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=5. Множество qi = {q0, q1, q2, q3}.

А(1) =>0.

(-1) 5A(-1) =>0.

, Обратный полином: .

Разделим A(z) на A0(z) .

0,01589163=q0, |q0|<1

0,7347z-3,1644z2+5,102835z3-3,6802818z4+0,999747z5

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A1(z) = 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4, A10(z) = 0.99974 -3,680218z+5,1028z2-3,1644z3+0,7347z4.

Разделим A1(z) на A10(z) .

0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4

0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4

-(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.53999z4)

0,734938361=q1, |q1|<1

-0,4596z+1,3255z2-1,3545z3+0,4597z4

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A2(z) = -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3, A20(z) = -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3.

Разделим A2(z) на A20(z) .

-0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3

-0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3

-0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3

-0,99986442=q2, |q2|<1

-0,0288981z-0,02926z2+0,91927z3

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A3(z) = -0,0288981-0,02926z+0,91927z2, A30(z) = 0,91927-0,02926z-0,02889881z2.

Разделим A3(z) на A30(z) .

-0,0288981-0,02926z+0,91927z2

0,91927-0,02926z-0,02889881z2

0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2

0,0314359=q2, |q2|<1

-0,0305301z+1.028762z2

Домножим полученный результат на z-1, тогда: A4(z) = -0,0305301+1.028762z.

В результате расчетов получили, что q0, q1, q2 по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.

Eсли функция имеет m-полюсов zk={z1, z2, …, zn}, то:

, (4.13)

где A(zk) — числитель функции W3(z) ; B(zk) — производная знаменателя функции W3(z) ; Замкнутая система с П-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z1 = 1; z2 = 0,8422; z3 = 0,954 — j0,313; z4= 0,954 — j0,313.

Производная знаменателя функции: B(z) = -11.25z2+10.574z-3.317+4z3.

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для: где a= z1; b = z2; c = z3; d = z4;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Переходный процесс в системе с П-регулятором

Замкнутая система с ПИ-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:

;.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z1 = 1; z2 = 0.847; z3 = 0.965; z4 = 0.973 — j0.0113; z5= 0.973 + j0.0113.

Производная знаменателя функции: B(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]: где а = z1; b = z2; c = z3; d = z4; e = z5;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Переходный процесс в системе с ПИ-регулятором

Замкнутая система с ПИД-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:

.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z1 = 1; z2 = -0,021; z3 = 0,84; z4 = 0,935-j0,171; z5= 0,935+j0,171; z6=0,98.

Производная знаменателя функции: B(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]:

где а = z1; b = z2; c = z3; d = z4; e = z5; f = z6.

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. Переходный процесс в системе с ПИД-регулятором

Расчет цифрового фильтра

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие: |Um — q0|Ј 0,05, (5.1) где Um = 1,0.

Вычисление значения q0 следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра Wф(z) имеет вид:

, (5.3)

где pi = biq0, i = 1,2, …, m; qi = aiq0, i = 1,2, …, m;

.

Воспользовавшись формулой (4.7) для Wнч(z) , находим функции bi, аi и Т0.

Для коэффициентов bi имеем:

;(5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов аi имеем:

;(5.7)

;(5.8)

. (5.9)

Найдем выражение для q0:

. (5.10)

Определим Т0 при котором выполняется условие (5.1) , для этого построим график зависимости и изобразим его на рисунке 5.1.

Рис. 5.1. График зависимости |Um — q00) |

При построении графика видим, что Т0 = 4,61, q00) = 1,002.

Определим коэффициенты, подставив найденное значение Т0 в выражение (5.4) и (5.5) : b10) = 0,718; b20) = 0,332; b30) = -0,052; a10) = -0,932; a20) = 0,281; a30) = -0,027; Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z — передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле: Wp(z) = Wн. ч. (z) * Wф(z) . (5.9) Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — управляющее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f — функция определяющая зависимость между q0 от Т0, т.е. q0=f(Т0) , тогда f –1 — обратная ей функция, т.е. Т0=f –1(q0) . Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1) .

Так как в явном виде функцию Т0=f –1(q0) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q0 О [3,45; 3,55] будет при q0=3,55.

Расчет Т0 сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что Т0 =1,25.

Подставляя значение Т0 =1,25 в выражения (5.4) -(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q0 =3,540075.

Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна Wр(z) =Wнч(z) * Wф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j (Ґ) =1, а m (Ґ) =0,4. Так как D x(Ґ) =1, а j (0-) =0 и m (0-) =0, то коэффициент усиления по каналу задание — выходная величина равен 1, а по каналу задание — управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса 1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции

.

Производная данного выражения равна:

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рис. 5.2. Переходная функция цифрового фильтра

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание — выходная величина и задание — управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

каналу задание — выходная величина y[k]=0,647726Ч x[k-1] –0,620803Ч x[k-2] –0,037272Ч x[k-3] +0,149369Ч x[k-4] –0,024633Ч x[k-2] –0,001394Ч x[k-2] +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3]; · каналу задание — управляющие воздействие y[k]=3,540075Ч x[k] –10,485749Ч x[k-1] +12,686121Ч x[k-2] – –8,004397Ч x[k-3] +2,770507Ч x[k-4] –0,497542Ч x[k-5]+0,036182Ч x[k-6]+ +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3].

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.

Таблица 5.1. Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание — выходная величина

k

y[k]

0

0

1

0,648

2

0,986

3

1

4

1

Оптимальное управляющее воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид: m (t) =3,54(h(t) -h(t-T0) ) –1,703(h(t-T0) -h(t-2* T0) ) +(6.1) +0,758(h(t-2* T0) -h(t-3* T0) ) +0,4 h(t-3* T0) , где h(t) — функция Хевисайда; T0 — период квантования равный 1,25.

Тогда m (t) =3,54(h(t) -h(t-1,25) ) –1,703(h(t-1,25) -h(t-2,5) ) +(6.2) +0,758(h(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) .

Изобразим данное управляющее воздействие на графике.

Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что j (t) = 3,54(g(t) — g(t-1,25) ) –1,703(g(t-1,25) -g(t-2,5) ) +(6.3) +0,758(g(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) , где g(t) =f(t) h(t) ,

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.

Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.

Рис. 6.2. Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие На этом все построения окончены.

Заключение

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы — это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того, развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

Список литературы

  1. Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. “Элементы автоматики” . — М. Машиностроение, 1970.
  2. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть I. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1990.
  3. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть III. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1995.