Волны.

Волной называется процесс распространения колебаний в пространстве. Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.

В поступательное движение частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются. Они просто колеблются около своих положений равновесия.

По направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Упругие поперечные волны возникают лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Таким образом, в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1 изображено движение частиц, участвующих в распространении поперечной волны.1, 2 и т. д. - отстоящие друг от друга на расстояние, равное 1/4vТ - на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами.

Опишем распространение волны, показанной на рис. 1.. В начальный момент времени волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1. Частица начала смещаться из положения равновесия вверх, возбуждая за собой следующие частицы. Через четверть периода частица 1 достигла крайнего верхнего положения, а частица 2только начинала смещаться из положения равновесия. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения. И теперь уже третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь vТ, достигнет частицы 5.

В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Движение частиц при распространении в среде продольной волны показано на рис. 2 . Все приводимые выше рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могли быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. При распространении в среде продольной волны создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), которые перемещаются в направлении распространения волны со скоростью v.

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. Но колеблются не просто частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Волновой процесс, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые части пространства. Совокупность всех точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновая поверхность может быть проведена через любую точку пространства, охваченного волновым процессом - волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим распространение плоской волны вдоль оси х. Все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х ,но различные значения координат y и z, колеблются в одинаковой фазе.

На рис. 3 показана кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

=vТ, (1.1)

где v – скорость волны, Т – период колебаний.

Длина волны - расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2П. Заменив в соотношении (1.1) Т через 1/ ( – частота колебаний), получим

=v (1.2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т.е. волновому уравнению.

Рассмотрим произвольную функцию f(at-bx) (2.3) от аргумента аt—bх. Продифференцировав ее дважды по t получим:

(2.4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at—bx.

Продифференцировав теперь нашу функцию дважды по х получим:

(2.5)

Сравнив (2.4) и (2.5), нетрудно заметить, что функция (2.3) удовлетворяет уравнению

(2.6)

где

Этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f(at+bx) (2.7) (2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и (2.7).

Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (2.6)—дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль, называется волновым уравнением. Оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,

f₁(at - bх) + f₂(at+bx).

Если можно доказать, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(2.6а)

можно на основании рассмотренных математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны - распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.

Вид функций f₁, f₂ определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Допустим, источником волн является плоскость х=0, на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. Тогда от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны

s= Acos(wtkx), k =.

Так как волновое уравнение линейное, если ему удовлетворяют функции s₁, s₂,s₃, ... в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == S₁ + S₂ + S₃ + ...

Рассмотрим следующие примеры.

а) Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны

s₁ = Aсоs(wt — kx),s₂= Acos(wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна

s=2Acoskx coswt

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

б) Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида

S=

Это—функция вида f(at—bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

в) Пусть волны S₁, S₂, имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S₁ + S₂ этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, – волны пройдут “одна сквозь другую” и притом каждая так, как будто другой не существует.

На примере распространения упругих волн в стержне, рассмотрим как работает математический аппарат волнового уравнения, описанный выше.

Испльзуем второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+х. Масса его р₀S₀х, где р₀ иS₀ – соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. – смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение д²/дt²его центра тяжести, справа – результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S₀:

(2.7)

Перейдя к пределу при , получим уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Получили, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Используя определение деформации, получаем:

(2.10)

Это—волновое уравнение.Оно показывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.

Определим скорость v = , с которой движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформацию инапряжение . Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем:

v=uf’(xut) (2.13a)

=f"(x ut), (2.13б)

=Ef’ (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

На рис. 5 показаны “моментальные снимки”, относящиеся к одним и тем же моменту времени, смещению, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f"{x ut). Около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

где

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).

Рассмотрим газ или жидкость как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Смещением - общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Предположим, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, с образующими, параллельными оси х, и смещение зависит только от координаты х. Применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню и придём, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = —есть давление в газе или жидкости. Здесь — значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р₀. Величины р₀, не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

р - функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит без заметного теплообмена с соседними частями - адиабатически. В термодинамике в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями) температура является однозначной функцией плотности, и давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

p=f(p). (2.17)

Введем обозначения

, (2.18) где и — соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

(2.19)

Определим теперь связь между и деформацией =. Мы сначала выразим через , а затем через :

а) Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:

P₀+=f(+)

разлагая f(+) в ряд по степеням ,

P₀+=f()+f’()+1/2f’()()²......

Так как P₀=f(), то получаем:

=f’()+1/2f’’()()²..... (2.20)

Считаем уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами, пропорциональными ()², ()³, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=f’()

Таким образом мы исследуем волны малой интенсивности.

f’() —постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

б) Объем V₀ в результате деформации превращается в объем

V=V₀ (1+), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в . Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины , получаем:

Таким образом,

(2.22)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение

(2.23)

(2.24)

Следовательно, рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).

Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния

pV=RT, (2.25)

где p – давление, V—объем одного моля, R—универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T—температура, измеренная по термодинамической шкале (“абсолютная температура”), или

где М— масса 1 моля, = M/V— плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

В случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

(2.26)

где

постоянная величина (С и С — теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

(2.27)

(формула Лапласа).

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что

(2.26а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение

(2.27а)

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

• Горелик, Колебания и волны,
• И.В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
• Б.М. Яворский, А.А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

Две волны Х₁=Аsin(wt-kl) и Х₂=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой – 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.