Расскажи друзьям!

Крип­то­ло­гия

I. Общая часть.

Криптологией называется наука о шифрах и всем, что с ними связано. Составляющими криптологии являются криптография и криптоанализ. Криптограф занимается вопросами защиты информации с помощью методов криптографии, тогда как криптоаналитик, наоборот, стремится преодолеть эту защиту. Существует устоявшееся мнение, что только хороший криптоаналитик, с большим опытом в раскодировании шифров может разработать хороший (устойчивый) новый шифр.

Другой способ скрыть информацию – использовать стеганографию. Чаще бывает проще скрыть сам факт наличия секретной информации, чем надеяться на стойкость кpиптоалгоpитма. “Шум” в звуковой информации, “случайные” точки на изображении, и т.д. в которые вкрапляется важная и секретная информация являются примерами стеганографии. Используемые методы зависят от технических возможностей и фантазии автора. Можно также комбинировать стеганографию и шифрование.

Шифр – это не что иное, как обратимый способ преобразования информации. Он применяется для защиты ее от просмотра. В этом случае исходная информация будет называться открытым текстом, а результат применения к ней шифра – закрытым текстом или шифротекстом. Если давать строгое определение, то шифр – это совокупность всех возможных криптографических преобразований (их число равно числу всех возможных ключей), которые преобразовывают множество всех открытых текстов в множество всех шифротекстов, и обратно.

 

  • Ключ - сменный элемент шифра, позволяющий сделать сам алгоритм шифрования открытым и использовать его многократно, меняя лишь ключ.

 

 

  • Зашифрование - процесс преобразования открытого текста в шифротекст с использованием ключа.

 

 

  • Расшифрование - процесс восстановления открытого текста из шифротекста с использованием ключа.

 

 

  • Дешифрование - процесс восстановления открытого текста из шифротекста без знания ключа.

 

 

  • Алгоритм шифрования - формальное описание шифра.

 

Криптование – слово, используемое дилетантами вместо стандартного термина шифрование. Hастоящие специалисты-криптографы никогда не пользуются этим словом, а также его производными “закриптование”, “раскриптование”, “закриптованные данные” и т.д.

Алгоритм обмена информацией между участниками, которые могут быть и соратниками, и соперниками называется криптографическим протоколом. Основой криптографических протоколов могут служить симметричные криптоалгоритмы, либо алгоритмы с открытым ключом. Криптографический протокол считается стойким, если в процессе его использования злоумышленник не сможет достичь своей цели, в отличие от легальных участников процесса.

Не являющиеся ключами сменные параметры – это другие криптографические параметры. Синхропосылки, узлы замены и другие параметры входят в это понятие.

При выборе алгоритмов шифрования предпочтение следует отдавать таким алгоритмам, как DES, ГОСТ и другим получившим широкое распространение. Не стоит использовать свой собственный алгоритм, если нет уверенности в его 100%-й надежности. Придумать алгоритм - это только начало. Еще нужно убедиться самому и убедить других, что его в обозримое время никто не сможет сломать. Один человек не способен сделать это. Распространенные алгоритмы, анализировали тысячи квалифицированных людей. Если все они говорят, что дыр нет - они правы с вероятностью 0.9999. Чтобы изобрести свой собственный алгоритм, нужно сначала набраться опыта, взломав пару-тройку чужих.

В алгоритме шифрования перед его использованием необходимо разобраться – для того, чтобы понять, какие алгоритмы следует применить и как их правильно состыковать между собой.

Если Вы придумали свой собственный алгоритм, то нет никаких оснований скрывать его: если он - Ваша интеллектуальная собственность, запатентуйте его. Не стоит доверять алгоритмам, разработчики которых держат их в секрете, поскольку это говорит о том, что его автор не уверен в его эффективности. Криптограф всегда должен следовать правилу Керкхоффа: весь механизм шифрования кроме значения секретного ключа, должен быть известен криптоаналитику противника (часто это правило формулируется так: стойкость шифра должна определяться только секретностью ключа).

Однако шифрование не является единственным и универсальным способом скрыть свои секреты. Это всего лишь способ уменьшить свои проблемы, заменив один (большой) секрет на другой (маленький).

Понятие стойкости шифра было введено Клодом Шенноном. Он показал, что существует шифр, обеспечивающий абсолютную секретность. То есть, знание шифротекста не позволяет противнику улучшить оценку соответствующего открытого текста. Им может быть, например, шифр Виженера при условии использования бесконечно длинного ключевого слова и абсолютно случайному распределению символов в этом слове. Очевидно, что практическая реализация такого шифра невозможна (точнее, в большинстве случаев - экономически невыгодна), поэтому обычно рассматривают практическую стойкость шифра, численно измеряемую временем (либо числом элементарных операций), необходимым на его взлом (с учетом текущего уровня развития техники). Абсолютно стойкий шифр - это абстрактно-математическое понятие, с практикой не имеющее почти ничего общего.

Симметричные шифры (криптосистемы) - это такие шифры, в которых для зашифрования и расшифрования информации используется один и тот же ключ. В несимметричных системах (системах с открытым ключом) для зашифрования используется открытый ключ, который известен всем и каждому, а для расшифрования - секретный (личный, закрытый) ключ, известный только получателю.

II. Симметричные шифры

Блочная криптосистема (блочный шифр) разбивает открытый текст M на последовательные блоки M1, M2, ..., Mn, применяя криптографическое преобразование к каждому блоку. Поточная криптосистема (поточный шифр) разбивает открытый текст M на буквы или биты m1, m2,..., mn и применяет криптографическое преобразование к каждому знаку mi в соответствии со знаком ключевого потока ki. Потоковое шифрование часто называют гаммированием. Потоковый шифр может быть легко получен из блочного путем применения специального режима.

Существуют следующие режимы работы блочных шифров: ECB, CBC, OFB, CFB.

ECB – Electronic Code Book Mode (режим простой замены, режим электронной кодовой книги). В этом режиме все блоки текста шифруются независимо, на одном и том же ключе, в соответствии с алгоритмом.

SM - Stream Mode (поточный режим). В этом режиме открытый текст складывается по модулю 2 с гаммой шифра.

Гамма получается следующим образом: с помощью генератора формируется предварительная гамма (начальное заполнение этого генератора – так называемая синхропосылка – не является секретом и передается по каналу в открытом виде). Предварительная гамма подвергается зашифрованию в режиме ECB, в результате чего и получается основная гамма, с которой складывается открытый текст. Если последний блок неполный (его длина меньше стандартного для данного алгоритма размера блока), берется только необходимое количество бит гаммы.

CFB – Cipher Feedback Mode (гаммирование с обратной связью). В этом режиме открытый текст также складывается по модулю 2 с гаммой шифра. Гамма получается следующим образом: сначала шифруется (в режиме ECB) синхропосылка (она также передается по каналу в открытом виде). Результат шифрования складывается по модулю 2 с первым блоком открытого текста (получается первый блок шифротекста) и снова подвергается зашифрованию. Полученный результат складывается со вторым блоком открытого текста и т.д. Обработка последнего блока - аналогично предыдущему режиму.

OFB – Output Feedback Mode (гаммирование с обратной связью по выходу). Как и в предыдущем режиме, сначала зашифрованию подвергается синхропосылка. Результат складывается по модулю 2 с первым блоком открытого текста - получается первый блок шифротекста. Далее, результат шифрования с предыдущего шага (до сложения!) шифруется еще раз и складывается со следующим блоком открытого текста. Таким образом, гамма шифра получается путем многократного шифрования синхропосылки в режиме ECB. Обработка последнего блока - аналогично предыдущему режиму. Легко видеть, что приведённое определение OFB полностью совпадает с определением SM. И это соответствует криптографической практике в частности в [1.2, с. 203] просто нет SM, а OFB определяется так:

Ci = Pi - Si ; Si = Ek(Si-1) - шифрование

Pi = Ci - Si ; Si = Ek(Si-1) - расшифрование

В тоже время можно встретить другое определение OFB. Там же рекомендовано установить размер сдвига равный размеру блока блочного шифра по причинам стойкости. Однако, такая установка приводит к полному совпадению с режимом SM. В частности для DES, всегда применяют OFB 64bit.

CBC - Cipher Block Chaining Mode (режим сцепления блоков). В этом режиме очередной блок открытого текста складывается по модулю 2 с предыдущим блоком шифротекста, после чего подвергается зашифрованию в режиме ECB. Для самого первого блока “предыдущим блоком шифротекста” является синхропосылка. Если последний блок открытого текста неполный - он дополняется до необходимой длины.

Q: Что такое "гамма" и "гаммирование"?

A: Гамма - это псевдослучайная числовая последовательность, вырабатываемая по заданному алгоритму и используемая для зашифрования открытых данных и расшифрования зашифрованных. Гаммированием принято называть процесс наложения по определенному закону гаммы шифра на открытые данные для их зашифрования.

Q: А у поточного шифрования какие бывают режимы?

A: Шифрование последовательности с обратной связью (заворачивает криптотекст на вход ГСП (генератор случайной последовательности, роль которого играет алгоритм шифрования) шифрование ключей с обратной связью. См. режим CFB для блочных шифров.

Q: Что такое архитектура "Квадрат" (SQUARE)?

A. Это архитектура построения блочных шифров с секретным ключом, она имеет следующие особенности:

- она является вариантом общих SP-сетей (за один раунд шифруемый блок преобразуется целиком), построенным по схеме KASLT (Key Addition -

Substitution - Linear Transformation);

- архитектура байт-ориентирована, шифруемый блок представляется в виде матрицы байтов, замена также выполняется побайтно, на каждом раунде может использоваться один, максимум-два узла замен, больше втиснуть сложнее;

- линейное преобразование (третий шаг раунда) двухфазное, состоит из перестановки байтов в матрице и независимого линейного комбинирования

отдельных столбцов (или строк) матрицы. Смысл этой двухфазности - диффузия изменений в двух направлениях - по строкам и по столбцам;

В данной архитектуре замена приводит к диффузии изменений внутри байта, линейное преобразование - в двух измерениях матрицы, в итоге получаем, что любое изменение в данных диффундирует на весь блок всего за 2 раунда.

В архитектуре "квадрат" выполнены шифры AES(Rijndael), Square ("квадрат", его название дало имя всей архитектуре), Crypton (один из кандидатов на

AES). Второе место в конкурсе AES занял другой KASLT-шифр, Serpent. Дело идет к тому, что KASLT-сети и, в частности, архитектура SQUARE, в ближайшем будущем станут безраздельно доминировать.

Q: А какие есть симметричные алгоритмы шифрования?

A: Да их немеряно! ;) Приведем наиболее известные:

Шифр Цезаря

Великий император, с целью сокрытия содержания написанного заменял каждую букву на третью следующую за ней по счету букву алфавита. Цезарь применял сдвиг на три буквы; в общем случае это может быть любое число, меньшее, чем

длина алфавита. Это число и является ключом в данном шифре:

А Б В Г Д Е Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Ь Ъ Э Ю Я

Г Д Е Е Ж 3 И И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Ь Ъ Э Ю Я А Б В

КРИПТОГРАФИЯ -> НУЛТХСЕУГЧЛВ

Шифр Виженера

Является модификацией шифра Цезаря, в котором величина сдвига является переменной и зависит от ключевого слова. Например, если в качестве ключевого слова использовать слово "ТАЙНА", то это будет означать, что первую букву сообщения необходимо сдвинуть на 20 (порядковый номер буквы "Т"), вторую - на 1 (порядковый номер буквы "А"), третью - на 11, четвертую - на 15, пятую - на 1, шестую - снова на 20 (ключевое слово начинаем использовать с начала) и т.д. Таким образом, ключевое слово "накладывается" на защищаемый текст.

Шифр Вернама

Алгоритм был изобретен в 1917 г. сотрудником компании AT&T по фамилии Vernam и называется одноразовым блокнотом (one-time pad). В этом алгоритме ключ представляет собой последовательность битов не менее длинную, чем шифруемое сообщение m. Результат шифрования получается в результате побитового сложения по модулю 2 сообщения и ключа. Расшифровка состоит в побитовом сложении шифрограммы с ключом.

Отметим, что данный алгоритм утрачивает свою надежность, если два сообщения оказываются зашифрованы одним и тем же ключом. В этом случае путем побитового сложения шифрограмм можно исключить биты ключа, а получившаяся побитовая сумма осмысленных сообщений поддается методам статистического анализа. Ключ должен быть надежным образом передан адресату, что само по себе не проще, чем передача сообщения. Единственная выгода метода состоит в том, что ключ можно передать заранее, а сообщение - по открытому каналу и тогда, когда это будет нужно.

AES.

Победителем конкурса AES стал алгоритм Rijndael (см. ниже).

BlowFish.

Блочный алгоpитм, сбалансиpованная сеть Файстеля, 16 итеpаций пpостого кpиптогpафического пpеобpазования. Длина ключа 40 - 448 бит, отсюда сложная фаза инициализации до опеpаций шифpования. Разработан в 1993 году. Автор: Брюс Шнаейр (Bruce Schneier)

Параметры:

- pазмер блока 64 бита

- pазмер ключа 32-448 бит

- число раундов 16

CAST.

В некотором смысле аналог DES.

Авторы: C.M. Adams и S.E.Tavares.

Параметры:

CAST-128

- размер блока 64 бита

- размер ключа 128 бит

- число раундов 16

CAST-256

- размер блока 128 бит

- размер ключа 256 бит

DEAL.

Базируется на DES (DEA). Уувеличение длины блока уменьшает вероятность удачной криптоатаки методом сравнения криптограмм, уровень стойкости шифрования сопоставим с уровнем triple-DES.

Автор: Lars R. Knudsen.

Параметры:

- размер блока 128 бит

- размер ключа 128/192/256 бит

- число раундов: 6 (DEAL-128, DEAL-192); 8 (DEAL-256)

DES.

Алгоритм с эффективной длиной ключа в 56-bits (хотя часто говорят о 8 байтах, но старший бит в байте не используется).

Автор: National Institute of Standards and Technology (NIST).

Параметры:

- размер блока 64 бита

- размер ключа 56 бит

- число раундов 16

IDEA (International Decryption-Encryption Algorithm)

Время/место разработки 1990-1991 годы, Цюрих, Швейцария.

Архитектура Общая сбалансированная шифрующая SP-сеть, инвариант раунда - побитовая сумма по модулю 2 старшей и младшей половин блока.

Авторы: Xuejia Lai, James Massey.

Параметры:

- pазмер блока 64 бита

- pазмер ключа 128 бит

- число раундов 8

Lucifer.

первый (опубликованный в открытой печати) блочный алгоритм. Предтеча DES

Автор: Horst Feisstel, Walter Tuchman (IBM)

Тип - сеть Файстеля

Параметры:

- размер блока 128 bit

- размер ключа 128 bit

- число раундов 16 .

В каждом используется подключ в 72 бита, порождаемый из главного ключа поскольку имеет больший размер ключа и блока по отношению к DES, поэтому более устойчив к дифф. криптоанализу

NewDES.

Создан в 1985 как творческая переработка DES. Это самостоятельный алгоритм, а не вариант DES. NewDES несколько проще, чем DES, поскольку у него нет начальной и, понятно, конечной перестановки. Операции производятся над байтами, а не битами как в DES. Brute-force атака на NewDES требует 2^119 операций, против 2^111 для TripleDES.

Автор: Robert Scott.

Параметры:

- размер блока 64 бита

- размер ключа 120 бит

- число раундов 17

RC2.

Блочный алгоpитм шифpования. Длина ключа пpеменная - от 8 до 1024 бит.

Разpабатывался под 16-ти битное слово. Реализyет 16 pаyндов "пеpемешивающих" (mixing) и 2 pаyнда "pазмазывающих" (mashing) пpеобpазований. Описан в RFC2268. Разpаботал Ron Rivest (RSA Laboratories).

Режимы: ECB, CBC, CFB 8bit, OFB, OFB counter 8bit

ECB, CBC, OFB: шифруют данные блоками по 64 бита (8 байт)

CFB, OFBC: шифруют данные блоками по 8 бит (1 байту)

Автор: RSA Data Security (Ron Rivest)

/RC - Ron"s Code/

Параметры:

- размер блока 64 бита

- размер ключа до 1024 бит

- число раундов 16

RC4.

Описывать RC4 просто. Алгоритм работает в режиме OFB: поток ключей не зависит от открытого текста.

Используется S-блок размером 8*8: S0, S1, . . . , S255. Элементы представляют собой перестановку чисел от 0 до 255, а перестановка является функцией ключа переменной длины. В алгоритме применяются два счетчика, i и j, с нулевыми начальными значениями.

Для генерации случайного байта выполняется следующее:

i = (i + 1) mod 256

j = (j + Si) mod 256

поменять местами Si и Sj

t = (Si + Sj) mod 256

K = St

Байт K используется в операции XOR с открытым текстом для получения шифротекста или в операции XOR с шифротекстом для получения открытого текста. Шифрование выполняется примерно в 10 раз быстрее, чем DES.

Также несложна и инициализация S-блока. Сначала заполним его линейно:

S0 = 0, S1 = 1, . . . , S255 = 255. Затем заполним ключом другой 256-байтовый массив, при необходимости для заполнения всего массива повторяя ключ: K0, K1, . . . , K255. Установим значение индекса j равным 0. Затем:

for i = 0 to 255:

j = (j + Si + Ki) mod 256

поменять местами Si и Sj

Автор: RSA Data Security (Ron Rivest)

/RC - Ron"s Code/

RC5

Блочный шифр с переменными параметрами.

Режимы: ECB, CBC, CFB 8bit, OFB, OFB counter 8bit

Шифр RC5 "словоориентированный"; все простейшие вычислительные операции производятся над w-битными словами. RC5 блочный шифр с размерностью входного и выходного блоков 2 слова. Номинальный выбор для w - 32 бита, при котором входной и выходной блоки RC5 имеют размер 64 бита. В принципе, RC5 допускает любое значение w>0, однако для простоты принимают допустимые значения w - 16, 32 и 64 бита.

Число раундов r является вторым параметром RC5. Выбор большего числа раундов увеличивает степень защиты. Возможные значения для r: 0,1,...,255.

Заметим также, что RC5 имеет расширенную ключевую таблицу S, получаемую из предоставляемого пользователем секретного ключа. Размер t таблицы S также зависит от числа раундов r и составляет t=2(r+1) слов. Выбор большего числа раундов, таким образом, увеличивает требования к памяти.

Для записи параметров RC5 применяют следующую нотацию: RC5-w/r/b. Например, запись RC5-32/16/10 означает, что используются 32-битные слова, 16 раундов и 10-байтовый (80-битный) секретный ключ, а также расширенная ключевая таблица размером 2(16+1)=34 слов. "Номинальным" набором параметров считается

RC5-32/12/16 (размер слова 32 бита, число раундов - 12 и 16-байтовый ключ).

ECB, CBC, OFB: шифруют данные блоками по 64 бита (8 байт)

CFB, OFBC: шифруют данные блоками по 8 бит (1 байту)

Автор: RSA Data Security (Ron Rivest)

/RC - Ron"s Code/

Параметры:

- размер блока 32/64/128 бит

- размер ключа до 2048 бит

RC6

Блочный шифр

Автор: RSA Data Security (Ron Rivest)

/RC - Ron"s Code/

Параметры:

- размер блока 128 бит

- размер ключа до 2048 бит

- число раундов 16-24

Rijndael.

Является нетрадиционным блочным шифром, поскольку выполнен в архитектуре SQUARE. Алгоритм представляет каждый блок кодируемых данных в виде двумерного массива байт размером 4х4, 4х6 или 4х8 в зависимости от установленной длины блока. Далее на соответствующих этапах преобразования производятся либо над независимыми столбцами, либо над независимыми строками, либо вообще над отдельными байтами в таблице.

Автор: Joan Daemen and Vincent Rijmen

Параметры:

- размер блока 128, 192, 256 бит, в качестве AES допускается использование шифра с размером блока 128 бит;

- размер ключа 128, 192, 256 бит

- число раундов 10, 12, 14. Зависит от размера блока (Nb) и ключа (Nk), заданных в битах, по следующей формуле: Nr=max(Nb,Nk)/32+6;

SAFER.

Автор: J. L. Massey

Параметры:

- размер блока 64 бит

- размер ключа 64/128

- число раундов, r:

SAFER K64 6 (5<r<11)

SAFER SK64 8 (5<r<11)

SAFER K128 10 (9<r<13)

SAFER SK128 10 (9<r<13)

SAFER+ ("Secure And Fast Encryption Routine")

один из кандидатов на AES

Автор: Cylink Corporation

Параметры:

- размер блока 16 байт

- размер ключа 128/192/256

- число раундов 8/12/16

Skipjack.

Старательно пропихиваемый госдепом США симметричный алгоритм шифрования с

разделяемым ключом и бэкдором. Используется в чипах Clipper и Capstone, которые

хотят засунуть до Интернет унитазов включительно :).

Интересен тем, что ломается 31 раунд (по аналогии с DES запас сделан

минимальный). Еще интересен тем, что по аналогии с ГОСТ ключевое расширение

получается простым повторением ключа.

Режимы: ECB, CBC, CFB 8bit, OFB, OFB counter 8bit

ECB, CBC, OFB: шифруют данные блоками по 64 бита (8 байт)

CFB, OFBC: шифруют данные блоками по 8 бит (1 байту)

Автор: NSA

Параметры:

- размер блока 64 бита

- размер ключа 80 бит

- число раундов 32

TEA (Tiny Encryption Algorithm).

Авторы: David Wheeler, Roger M. Needham

Параметры алгоритма :

- размер блока - 64 бита.

- размер ключа - 128 бит.

TripleDES.

Алгоритм зашифрования состоит в следующем: исходный текст зашифровывается DESом

с ключом K1, результат расшифровывается DESом с ключом K2, а этот результат

опять зашифровывается DESом с ключом K1. Итого длина ключа составляет 112 бит.

Иногда применяют 3 разных ключа, но стойкость от этого не меняется.

DES - не группа, то есть композиция двух операций шифрования с разными

ключами не является в общем случае DES-шифрованием с некоторым третьим

ключом [2.5]. Следовательно, можно пытаться увеличить пространство ключей

за счет многократного применения DES.

Двойной DES, c=К1(К2(m)), не обеспечивает увеличение в 2 в 56 степени

раз объема перебора, необходимого для определения ключа, поскольку при

атаке с известным открытым текстом можно подбирать параллельно исходный

текст m и шифрограмму c, накапливать в хэш-таблице значения К2(m),К1^-1(c)

и искать совпадения между ними.

Тройной DES рекомендуется специалистами в качестве замены DES:

В режиме ECB c=К1(К2(К3(m))) или c=К1(К2^-1(К3(m)))

В других режимах c=К1(К2^-1(К1(m)))

Применение функции расшифрования на втором шаге объясняется желанием достичь

совместимости с однократным алгоритмом DES в случае, если все ключи равны.

Тройное шифрование с двумя ключами все равно сводится к одинарному при

использовании атаки с выбором открытого текста [2.6].

Автор: NIST ANSI X9.17, "American National Standard, Financial Institution

Key Management (Wholesale)", 1985.

ISO/IEC 8732:1987, "Banking - Key Management (Wholesale)".

Параметры:

- размер ключа 112 бит

- остальное - см. DES

ГОСТ 28147-89

Российский федеральный стандарт шифрования. Фактически, описывает несколько

алгоритмов (режимы работы ГОСТ). Кроме ключа ему необходима еще одна таблица

(таблица замен, 128 ячеек 4-битовых чисел) для формирования узлов замены. ГОСТ

ее не определяет, посему она может рассматриваться как долговременный ключевой

элемент. Определены следующие режимы работы: режим простой замены (ECB), режим

гаммирования (SM) и режим гаммирования с обратной связью (OFB). Несколько

особняком стоит режим выработки имитовставки. В принципе, у него такое же

назначение как у хэш-функции, только ее значение еще зависит от секретного

ключа. Из полученного в результате 64 битного значения выбирается l битов, где

l<=32. Минимальный размер данных для имитозащиты - 2 64-битных блока.

Автор: КГБ СССР

Параметры:

- размер блока 64 бита

- размер ключа 256 бит

- число раундов 32 (16 - для имитовставки)

Q: Каковы должны быть правила построения таблиц (узлов) замены в ГОСТе?

A: Основная задача -- сделать S-box"ы (так называют эти таблицы) устойчивыми к

дифференциальному и линейному криптоанализу. Можно попробовать

сформулировать критерии, глядя на те критерии, которые Тучман использовал в

начале 70-х для DES. /* потребовалось около 10 месяцев */

Итак, можно сформулировать следующие правила:

1. Hи один выходной бит не должен сколь-нибудь хорошо приближаться линейной

функцией от входных бит.

2. Если два входных значения отличаются на один бит, выходные значения

должны отличаться не менее чем на 2 бита.

3. Если два входных значения отличаются в двух соседних битах (как минимум

центральных), то выходные значения должны отличаться не менее чем на 2 бита.

4. Для любого значения XOR между входными значениями, следует минимизировать

количество пар, чьи XOR на входе и на выходе равны этому значению (это

весьма хитроумное требование вытекает из попытки защититься от

дифференциального

криптоанализа).

5. S-box"ы не должны быть похожи друг на друга. Hапример, количество входных

значений, дающих одно и тоже значение на выходе из разных S-box"ов, должно

быть минимально.

6. Узлы замены в идеале должны учитывать особенности входного текста: если

используются только алфавитно-цифровой диапазон ASCII-таблицы, то он должен

отображаться (после замены) на все множество используемого алфавита, скрывая

статистические свойства открытого текста.

A2: Запросить узел замены в ФАПСИ.

III. Несимметричные шифры.

Q: А какие есть несимметричные алгоритмы шифрования?

A: А вот этих немного :) В принципе, вся несимметричная криптография строится

на 2 проблемах: проблеме разложения большого числа на простые множители и

проблеме дискретного логарифмирования. Собственно, для шифрования используется

алгоритм RSA (Rivest-Shamir-Adleman), разработанный в 1977 году математиками

Роном Райвестом (R. Rivest), Ади Шамиром (A. Shamir) и Леонардом Аделманом

(L. Adleman). Используется не только для шифрования, но и для формирования ЭЦП.

Схема примерно такая:

Абонент А, желающий вступить в переписку, ЗАРАHЕЕ:

- вырабатывает различные простые числа p, q, примерно равной разрядности,

и вычисляет n=p*q;

- генерирует случайное числе e < n и вычисляет d, такое что

e*d == 1(mod ф(n)); (ф(n) - функция Эйлера)

- рассылает открытый ключ (e,n);

- сохраняет в тайне секретный ключ (p, q, d).

Абонент B, желающий ЗАШИФРОВАТЬ сообщение для абонента А, выполняет следующие

действия:

- открытый текст разбивается на блоки, каждый из которых представляется как

число m, 0 <= m <= (n-1), и преобразуется в блок c, 0 <= c <= (n-1),

шифрованного текста с = E(n,e,m) = m^e (mod n).

Для РАСШИФРОВАHИЯ абонент А выполняет следующие действия:

- вычисляет m" = E(n,d,c) = c^d (mod n).

A2:

Если приводить к фундаментальным математическим

проблемам, то все существующие алгоритмы с открытым ключём стремятся

построить таким образом что бы они были похожи на полиномиальные для

владельца секретного ключа и на NP-полные проблемы для всех остальных.

В [1.2, pp. 461-482] приведено

9 таких систем (ну, скажем, популярные ныне элипические кривые это просто

смена конечного поля, ещё парочку можно свести к другим, но 6 принципиально

разных алгоритмов имеется).

В тоже время доказательств NP-полноты нет ни у большинства из них, а про RSA

имеются серьёзные подозрения на его полиномиальность.

Всех их можно использовать для шифрования, но большинство (кроме RSA) можно

использовать для одновременной аутентификации за те же деньги. Поэтому более

корректно сказать, что RSA можно использовать только для шифрования (в нём

даже ЭЦП является формой шифрования, так и пишут: encrypted digest :)

IV. Хэш-функция.

Q: Что такое хэш-функция (hash, hash-function)?

A: Это преобразование, получающее из данных произвольной длины некое значение

(свертку) фиксированной длины. Простейшими примерами являются контрольные

суммы (например, crc32). Бывают криптографические и программистские хэши.

Криптографический хэш отличается от программистского следующими

двумя свойствами: необратимостью и свободностью от коллизий.

Обозначим m -- исходные данные, h(m) -- хэш от них. Hеобратимость

означает, что если известно число h0, то трудно подобрать m такое,

что h(m) = h0. Свободность от коллизий означает, что трудно

подобрать такие m1 и m2, что m1 != m2, но h(m1) = h(m2).

Криптографические хэш-функции разделяются на два класса:

- хэш-функции без ключа (MDC (Modification (Manipulation) Detect Code) - коды),

- хэш-функции c ключом (MАC (Message Authentication Code) - коды).

Хэш-функции без ключа разделяются на два подкласса:

- слабые хэш-функции,

- сильные хэш-функции.

Слабой хэш-функцией назывется односторонняя функция H(x), удовлетворяющая

следующим условиям:

1) аргумент х может быть строкой бит произвольной длины;

2) значение H(x) должно быть строкой бит фиксированной длины;

3) значение H(x) легко вычислить;

4) для любого фиксированного x вычислительно невозможно найти другой

x" != x, такой что H(x")=H(x).

Пара x" != x, когда H(x")=H(x) называется коллизией хэш-функции.

Сильной хэш-функцией называется односторонняя функция H(x), удовлетворяющая

условиям 1-3 для слабой хэш-функции и свойству 4":

4") вычислительно невозможно найти любую пару x" != x, такой что

H(x")=H(x).

Поскольку из свойств 1-2 следует, что множество определения хэш-функции

значительно шире множества значений, то коллизии должны существовать.

Свойство 4 требует, чтобы найти их для заданного значения х было практически

невозможно. Требование 4" говорит о том, что у сильной хэш-функции

вычислительно невозможно вообще найти какую-либо коллизию.

Хэш-функцией с ключом (MAC) называется функция H(k,x) удовлетворяющая

свойствами:

1) аргумент х функции H(k,x) может быть строкой бит произвольной длины;

2) значение H(k,x) должно быть строкой бит фиксированной длины;

3) при любых k и x легко вычислить H(k,x);

4) для любого х должно быть трудно вычислить H(k,x) не зная k;

5) должно быть трудно определить k даже при большом числе неизвестных

пар {x, H(k,x)} при выбранном наборе х или вычислить по этой информации

H(k,x") для x" != x.

Q: А зачем она нужна?

A: Дело в том, что многие криптографические преобразования (в частности,

вычисление и проверка электронной цифровой подписи, ЭЦП) выполняются над

данными фиксированного размера. Поэтому перед простановкой электронной

подписи под многомегабайтным файлом обычно рассчитывают значение хэш-функции

от него, а уже от этого значения считают ЭЦП. Кроме того, удобно, например,

пароли в базе хранить не в открытом виде, а в хэшированном (так сделано

во всех юниксах).

Q: А какие есть алгоритмы хэш-функций?

A: Вот некоторые из них:

MD2

Автор: RFC 1319, "The MD2 Message Digest Algorithm", Burt Kaliski, 1992.

Размер: 128 бит.

MD4

Автор: RSA Data Security

Размер: 128 бит.

MD5

Капитально переделанный MD4.

Каждая итерация алгоритма состоит из 64 операций.

Hедавно обнаружена нестойкость к обнаружению коллизий [2.1.9, 2.1.10, 2.1.11],

но пока не построена настоящая атака на эту функцию.

Автор: RSA Data Security

Размер: 128 бит.

SHA (Secure Hash Standard)

Один из (относительно) новых алгоритмов свертки.

Функция предложена в качестве национального стандарта США.

Каждая итерация алгоритма состоит из 80 операций.

Автор: NIST (National Institut of Standards and Technology)

FIP-180 (Federal Information Processing Standards Publication 180)

ANSI X9.30-2, "American National Standard, Public-Key Cryptography Using

Irreversible Algorithms for the Financial Services Industry", 1993.

FIPS PUB 180, "Secure Hash Standard", 1993

FIPS PUB 180-1, "Secure Hash Standard", 1994

Размер: 160 бит.

ГОСТ Р34.11-94

Российский алгоритм. Размерность получаемого значения очень удобна

для формирования по паролю ключа для ГОСТ 28147-89.

Автор: Стандарт ГОСТ Р 34.11-94 разработан ГУБС

ФАПСИ и ВHИИС, внесён ТК 22 "Информационная технология" и ФАПСИ, принят и

введён в действие Госстандартом России 23.05.94.

Размер: 256 бит.

V. Электронная цифровая подпись.

Q: Что такое электронная цифровая подпись (ЭЦП)?

A: ЭЦП - это для автора документа способ убедить читателей в том,

что автор - именно он. Способ работает примерно так.

Вначале автор документа (файла и т.п.) должен сгенерировать

пару ключей, один секретный, один открытый. Секретный ключ

он оставляет при себе, открытый - передает всем потенциальным

читателям (под роспись, или по другому доверенному каналу).

Теперь при необходимости послать документ автор вычисляет

некоторое число (ЭЦП), которое зависит от самого файла и от

секретного ключа. Без знания секретного ключа это число подобрать

крайне сложно.

Получатель вычисляет другое число на основе полученного файла,

полученной ЭЦП и открытого ключа. Если получилась 1 - значит,

документ не был искажен, и автор соответствует предполагаемому.

Если получился 0 - значит, это подделка.

Hесложно понять, что эту систему правильнее было бы назвать

"Электронная цифровая печать", так как подпись - это нечто

индивидуальное. А печать (как и секретный ключ) можно

украсть, со всеми вытекающими.

RSA.

ПРЕДВАРИТЕЛЬHО:

- те же предварительные действия что и для криптосистемы RSA.

ВЫЧИСЛЕHИЕ ПОДПИСИ:

- c = H(m)^d (mod n) (H(m) - результат хэширования сообщения m);

ПРОВЕРКА ПОДПИСИ:

- проверка равества H(m) == c^e (mod n).

("==" - операция сравнения (это не больше или меньше :-)))

Авторы: Рональд Райвест (R. Rivest), Ади Шамир (A. Shamir)

и Леонард Аделман (L. Adleman)

Размеры ключей: любые, размер модуля выбирается обычно не менее

2048 бит (соответственно сумма длин e и d примерно равна длине n)

Размер подписи: Равен длине модуля.

ElGamal

ПРЕДВАРИТЕЛЬHО:

1. Во всей сети выбираются простое число p, p=2q+1, q - простое число и Alfa -

образующая поля GF(p).

При специальном выборе параметров p и Alfa становится возможным подделывать

подписи. Это доказывается в [3.4.2].

Этот факт может быть использован, если параметры системы порождаются

централизованно. Тогда тот, кто их порождает, может подделывать подписи всех

обслуживаемых им участников.

2. Во всей сети выбирается хэш-функция H со значениями в поле GF(p)

3. Абонент случайным образом генерирует свой секретный ключ x из интервала

{2,...,p-1}, который сохраняет в тайне.

4. Абонент вычисляет свой открытый ключ y=Alfa^x (mod p), который рассылает

своим корреспондентам.

ВЫЧИСЛЕHИЕ ПОДПИСИ:

1. Абонент выбирает случайное число k {1,...,p-1}, взаимно простое с p-1

2. Абонент вычисляет r=Alfa^k (mod p)

3. Абонент вычисляет s=(1/k)*(H(m)-rx) (mod (p-1)), где H(m) - хэш-функция

от подписываемого сообщения.

4. Абонент уничтожает k.

5. Абонент посылает свое сообщение m вместе с подписью (r,s).

ПРОВЕРКА ПОДПИСИ:

1. Корреспондент проверяет r и s принадлежат {1,...,p-1}

2. Корреспондент проверяет сравнение Alfa^H(m) == (y^r)*(r^s) (mod p)

Если хотя бы одно из условий проверки не выполнено, то считается что

подпись неверна.

Автор: El Gamal

Размеры ключей: зависят от реализации

Размер подписи: подпись состоит из двух чисел, каждое из которых имеет длину,

равную длине секретного элемента

DSS

Стандарт США DSS (Digital Signature Standard) [3.4.3] является развитием

схемы Эль Гамаля, но при той же надежности в смысле дискретного логарифма

требует возведения в меньшую степень.

Кроме того, при разработке стандарта были учтены другие недостатки схемы

Эль Гамаля, например, упомянутый выше способ подбора ненадежных параметров

системы. Еще одним побудительным мотивом при разработке DSS явилось желание

сократить время создания подписи за счет времени проверки

(как раз наоборот по сравнению с RSA).

Замечание: В отличие от схем RSA и Эль Гамаля, одна и та же подпись может

соответствовать сообщениям с различной хэш-суммой.

Замечание: Поскольку для простых чисел специального вида существуют

эффективные алгоритмы вычисления дискретного логарифма, участник, выбирающий

для других участников параметры системы, может выбрать их так, чтобы

впоследствии найти их секретные ключи.

Размеры ключей: 512-1024 с шагом 64 бита.

Размер подписи: Два числа примерно по 160 бит.

ГОСТ Р34.10

Российский федеральный стандарт на цифровую подпись [3.4.5] во многом аналогичен

стандарту DSS и основан на алгоритме Эль-Гамаля.

ПРЕДВАРИТЕЛЬHО:

1. Во всей сети выбираются простые числа p и q : p-1 делится на q.

2. Во всей сети выбирается целое число Alfa, такое что:

1 < Alfa < p-1, Alfa^q(mod p) = 1

3. Во всей сети выбирается хэш-функция H со значениями {1,...,q-1}

(алгоритм вычисления функции хэширования установлен в ГОСТ Р 34.11.)

4. Абонент случайным образом генерирует свой секретный ключ x из интервала

{1,...,q-1}, который сохраняет в тайне.

5. Абонент вычисляет свой открытый ключ y=Alfa^x (mod p), который рассылает

своим корреспондентам.

ВЫЧИСЛЕHИЕ ПОДПИСИ:

1. Вычислить h(M) - значение хэш-функции h от сообщения M.

Если h(M)(mod q) = 0, присвоить h(M) значение 1.

2. Выработать целое число k, 0 < k < q.

3. Вычислить два значения:

r = a**k(mod p) и r" = r(mod q).

Если r" = 0, перейти к этапу 2 и выработать другое значение числа k

4. С использованием секретного ключа x пользователя (отправителя сообщения)

вычислить значение s = (x*r" + k*h(M)) (mod q).

Если s = 0, перейти к этапу 2, в противном случае закончить работу алгоритма.

Подписью для сообщения M является вектор <r">(256 бит)||<s>(256 бит).

ПРОВЕРКА ПОДПИСИ:

1. Проверить условия: 0 < s < q и 0 < r" < q

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то подпись считается

не действительной.

2. Вычислить h(M1) - значение хэш-функции h от полученного сообщения M1.

Если h(M1)(mod q) = 0, присвоить h(M1) значение 1.

3. Вычислить значение v = (h(M1))**(q-2) (mod q).

4. Вычислить значения z1 = s*v (mod q) и z2 = (q - r")*v (mod q)

5. Вычислить значение u = (a**z1 * y**z2 (mod p)) (mod q).

6. Проверить условие: r" = u

Автор: ГУБС ФАПСИ и ВHИИС - авторы стандарта. Сам алгоритм (ядро стандарта) -

T. ElGamal

Размеры ключей: Размеры секретного ключа 256 бит.

Размеры открытого ключа 512 бит и 1024 бит. ФАПСИ сертифицирует 512 бит

только до 2002 года (ввод в эксплуатацию), соотвественно плюс от 3 до 10 лет

гарантированного качества.

Размер подписи: 2 числа по 256 бит

Q: Получается, что открытый ключ никак не защищен? Как проверяющий подпись

может быть уверен, что имеющийся у него для проверки открытый ключ

действительно принадлежит автору сообщения?

A: Для этого используются не просто открытые ключи, а их сертификаты,

формируемые Центром Сертификации Ключей (Центром Распределения Ключей,

Certificate Authority). В качестве центра сертификации выбирается организация,

которой доверяют все участники обмена и которой они лично предъявляют свои

открытые ключи. Центр формирует из собранных ключей сертификаты путем

подписания их своей электронной подписью. После этого каждый участник получает

сертификат (собственный открытый ключ, подписанный центром) и открытый ключ

центра. Теперь при установлении связи корреспонденты обмениваются не просто

открытыми ключами, а сертификатами, что дает возможность однозначно

идентифицировать второго участника обмена путем проведения процедуры проверки

электронной подписи центра под его сертификатом.

Существуют рекомендации X.509, в которых описано, что должен в себя включать

сертификат.

Содержание сертификата по рекомендации X.509:

- номер сертификата;

- имя владельца сертификата;

- имя Центра сертификации, выдавшего сертификат;

- идентификатор алгоритма подписи, используемого для подтверждения

подлинности сертификата;

- открытый ключ (собственно, то, ради чего весь этот цирк :) );

- срок действия сертификата;

- подпись всей этой информации на секретном ключе Центра сертификации.

VI. Криптографические протоколы.

DH

Diffie-Hellman. Протокол передачи секретных ключей с использованием

алгоритмов на открытом ключе. Для шифрования данных не используется.

Если обозначить секретный ключ абонента как X, открытый ключ как Y и

установить соответствие между ними как Y=A^X (A в степени X, где A

является константой), то приближенно получение общего секретного

ключа можно записать так.

Каждый участник вычисляет K на основе своего секретного ключа и открытого

ключа другого абонента:

K=Y2^X1=(A^X2)^X1= A^X2X1

K=Y1^X2=(A^X1)^X2= A^X1X2

Как видим, вычисленное на обоих концах канала связи значение K одинаково, при

этом по каналу передавались только значения Y1 и Y2, на основании которых

потенциальный злоумышленник, прослушивавший канал, не сможет вычислить X1 и

X2, равно как и общий секрет K.

KEA

Key Exchange Algorithm. Вариации на тему Diffie-Hellman.

Q: Что такое Perfect Forward Secrecy?

A1. Если мне не изменяет мой склероз, Perfect Forward Secrecy -- это

свойство протокола, заключающееся в том, что захват противником

_криптографических_ параметров не приводит к нарушению

конфиденциальности данных, передаваемых _после_ события захвата.

Пример.

Рассмотрим протокол, в котором передача очередного сообщения

осуществляется следующим образом.

1. Обе стороны генерируют пару секретный ключ - открытый

ключ, и каждая сторона передает другой по доверенному, но

_неконфиденциальному_ каналу, свой открытый ключ.

2. Передающая сторона генерирует свой секретный сеансовый ключ.

3. По протоколу открытого распределения ключей Диффи-Хеллмана

сеансовый ключ передается стороне-получателю.

4. Отправитель шифрует сообщение на сеансовом ключе, отправляет

получателю, а тот расшифровывает его.

5. Каждая из сторон уничтожает все ключи, а именно сеансовый ключ

и свой секретный.

Передача одного сообщения должна являться одной транзакцией.

В этом протоколе ни до, ни после передачи сообщения стороны

не владеют секретной информацией, которая может привести

к раскрытию сообщения или ключей.

A2. Согласно IPSEC, Perfect Forward Secrecy -- это следующее свойство

протокола: компрометация ключа приводит к раскрытию только тех

данных, которые были зашифрованы на этом ключе.

VII. Криптоанализ.

Q: Какие есть методы криптоанализа, атаки на шифры?

A: Распространена следующая классификация: FIXME!

* ciphertext only attack (атака с известным шифртекстом).

* known plaintext attack (атака с известным открытым текстом)

* chosen plaintext attack (атака с выбором открытого текста)

* adaptive chosen plaintext attack (адаптивная атака с выбором открытого текста)

* chosen ciphertext attack (атака с выбором шифртекста)

* adaptive chosen ciphertext attack (адаптивная атака с выбором шифртекста)

* chosen text attack (атака с выбором текста)

* chosen key attack (атака с выбором ключа)

* physical attack - атака, при которой используются физические методы перехвата;

например, так секретный ключ из смарт-карт вынимали - измеряя ток потребления

при шифровании или облучая их гамма-излучением для того, чтобы сбросить ключ

в ноль;

* social engineering attack - позвонить по телефону и грозным голосом приказать

немедленно принести дискетку с ключом по такому-то адресу; :)

* man-in-the-middle attack (атака "человек посередине") - злоумышленник

"разрывает" канал связи и взаимодействует с каждым из участников обмена от

имени другого. Применяется, в частности, против алгоритма распределения ключей

Диффи-Хэллмана. Легко нейтрализуется использованием вместо открытых ключей их

сертификатов.

Рассмотрим подробнее:

Допустим есть два законных абонента A и B, при этом у противника есть два

варианта атаки:

- противник С выдает себя за абонета А и от его имени говорит с B;

- противник C вклинивается между A и B и в протоколе с А выдает себя

за В, а в протоколе с В выдет себя за А, то есть пропускает разговор

через себя и тем самым подслушивает его. Также может навязывать ложную

информацию.

Решение этой проблемы - центр доверия, куда помещаются открытые ключи абонентов

сети. Центру доверия все верят. Предполагается, что Центр доверия не подвержен

атакам.

В частности для рассылки открытых ключей предложена система сертификатов.

Рекомендация X.509 ITU-T описывает эти структуры и предложения по их

использованию.

Q: Hасколько стойким является шифрование ZIP-архива с паролем?

A: Как доказал Paul Kocher, его стойкость оценивается в 2^38

операций. Подробнее см. статью "A Known Plaintext Attack on

the PKZIP Stream Cipher" (Eli Biham, Paul C. Kocher).

Q: А как дешифровать пароли в UNIX, WINDOWS, NetWare? Насколько хорошо они

защищены?

A: В этих системах они защищены по-разному.

Если рассматривать проблему укрупненно, то можно выделить два основных

подхода к хранению паролей, и, соответственно, к используемой схеме

аутентификации.

Первый подход заключается в защищенном хранении паролей на сервере.

При этом, в случае хищения базы с паролями, злоумышленник не сможет

воспользоваться этими данными непосредственно, ему понадобится

произвести некоторое количество преобразований (подчас весьма

сложных), так как пароли преобразованы односторонней функцией, и

узнать их можно только "прогоняя" различные варианты паролей через эту

функцию и сравнивая результат; в данной ситуации, это - единственный

способ дешифрования. Очевидно, что при таком подходе пользователь

должен предъявлять серверу пароль в открытом виде, чтобы последний,

произведя над ним соответствующее преобразование, сравнил полученный

результат с записью в базе паролей. Ну, а коль скоро пароль

предъявляется в открытом виде, возможен его перехват при передаче по

каналам связи. Конечно, если использовать даже самую сложную функцию

вида:

y=f(x) (1)

где x - пароль, а y - значение односторонней функции (как правило, в

качестве односторонней используется хэш-функция, которая должна

обладать, как минимум, следующими характеристиками: ее значение имеет

фиксированный размер независимо от размера параметра, а подбор

параметра под заданное значение является сложной задачей), то

одинаковым паролям будут соответствовать одинаковые значения функции.

Злоумышленнику в этом случае достаточно будет один раз обработать

большой словарь и в дальнейшем просто определять пароль по значению

функции. Чтобы устранить эти недостатки в процесс вычисления вводят

дополнительный элемент - salt, который для каждой генерации пароля

выбирается случайным образом, после чего формула (1) приобретает вид:

y=f(salt,x) (2)

а в базе паролей на сервере хранится пара чисел (salt,y). Такой подход

к защите паролей применяется в большинстве UNIX-систем. В качестве

преобразования (2) используется алгоритм шифрования DES (x выступает в

роли ключа шифрования), либо алгоритм хэширования MD5.

Другой подход направлен на невозможность перехвата пароля при его

передаче. В этом случае пользователь доказывает серверу, что ему

известен правильный пароль, не путем предъявления его в открытом виде,

а путем вычисления над предложенным сервером числом некоей функции,

зависящей также и от пароля. В простейшем случае это может быть

шифрование предложенного сервером числа, используя в качестве ключа

пароль. Естественно, что для проверки значения функции, присланного

пользователем, серверу необходимо повторить данное преобразование, а

для этого, в свою очередь, он должен обладать паролем в открытом виде.

Схема похожа на предыдущую, изменяется только место вычисления

односторонней функции, а роль salt играет высылаемое сервером число.

Очевидно, что при этом способе осуществления аутентификации,

необходимо принять меры по недопущению несанкционированного доступа к

базе паролей на сервере. Такой подход применяется в семействе ОС

Novell NetWare, а также Windows NT.

Про атаки типа brute-force лучше прочитать отдельно для каждой системы.

Для unix-подобных систем (и не только) см. программу John-The-Ripper.

Q: Какова минимально безопасная длина ключа?

A: Ответ на этот вопрос сложно зафиксировать, т.к. очень быстро меняется

производительность техники. Развитие методов криптоанализа тоже не стоит на

месте. Вобщем, лучше почитать статью Ю.Пудовченко на эту тему и перевод FAQ`а

Thomas Pornin. Оба материала доступны на страничке "Криптографический ликбез"

Длины ключей считаются по-разному для симметричных и несимметричных алгоритмов

(и вообще для разных алгоритмов). Правильнее было бы говорить о мощности

ключевого пространства. Так вот, для хороших симметричных алгоритмов в

настоящее время считается достаточной длина ключа в 256 бит (ГОСТ, AES). Если

полностью перебирать все возможные варианты (их придется перебрать в среднем

около 10^77), даже если мы возьмем для этого 10 миллиардов компьютеров, каждый

из которых способен перебрать 10 миллиардов ключей в секунду, то нам

потребуется около 10^49 лет, чтобы найти ключ. Разговор про стойкость

несимметричных алгоритмов, основанных на задаче факторизации, может идти

начиная с ключей длиной 2048 бит (лучше 4096:).

VIII. Практическая эксплуатация.

Q: А зачем вообще эти юридические заморочки? Шифруется и ладно!

A: Математические абстpакции (из коих в частности выpосла кpиптогpафия с

откpытыми ключами) используются в пpикладных вещах, где используются для

доказательства достовеpности сообщения, подтвеpждения автоpства, etc.

после чего включаются законы данной стpаны.

Q: А вот закон об ЭЦП пока не принят, как мне грамотно организовать ее

использование?

A: Придется потрудиться :)

Между тобой и клиентом pисуется (пpимеpное название, можешь обозвать

"пpотоколом", "договоpом" или еще более умно 8-)) "соглашение о пpизнании

данного способа защиты инфоpмации". Высокие договаpивающиеся стоpоны _пpизнают_

данный способ обмена инфоpмацией между собой достовеpным и

_пpинимают_документы_, пеpеданные данным способом _к_ _исполнению_ (будь то

платежки, договоpы, записки "пошли пива нажpемся"), пpи выполнении следующих

условий... (или вытащи это в пpиложение) начинается самая суpьезная часть, где

оговаpиваются такие моменты:

* администpативно - оpганизационные: отдельное, помещение с огpаниченным

доступом, дискеты с ключами только в сейфе - у пpедседателя в своем у главбуха

в своем (это для фоpмиpования ЭЦП), тут за тpемя печатями спpятан эталонный

обpазец софта. откpытые ключи pаспечатаны в двух экземляpах, подписаны и синимя

печятямя 8-)) пpопечатаны. вот этот и этот специальный мужик, ответственны со

своих стоpон за эксплуатацию. вот тута к договоpу пpилагаем ихие должностные

инстpукции (покоpмил собак и ниче не тpогай). поpядок смены (даже в случае

только подозpения о компpометации) ключей и ответственности за их

неpазглашение. особенно оговаpивается, что ежели где чего сдохло в pезультате

чего-то не пpедусмотpенного, то создается комиссия из пpедставителей

заинтеpесованных стоpон и "базаp pазводят по понятиям без стволов и гнилых

базаpов в суде" 8-)) - тpетейский суд или пеpеговоpы (вpоде так это юpидически)

* технические и софтвеpные особенности эксплуатации ТВОЕГО кpиптокомплекса.

типа - балалайка - пень с установленным ДОСом, "СупеpКpиптоСофт", пpогpамма для

мудема и ВСЕ!!

* _особенно_ оговаpивается, что оpигиналы и соответствующие им кpиптотексты

хpанятся "стоко-то" (если пункта нет, то хpани 3 года, в соответствии с ГК),

после чего все пpетензии стоpон посылаются к...

Q: Ну, а если всеже по электронному документу возник спор, что делать?

A: Пpимеpный "поpядок pазpешения конфликтов".

// "непpокоцаный тикет - повод для гнилого базаpа" 8-))

если одна из стоpон чего то начинает опpотестовывать - "не писали, в тексте

д.б. 100 тыщев, а не сто pублев", создается комиссия (+ желательно независимый

экспеpт. это не обязательно кpиптогpаф, если все опеpации в данном документе

пpописаны). и пошли по пунктам: достали эталонный софт, пpовеpили печати на

пакете, вскpыли, установили, взяли опpотестованный документ... далее ваpианты -

либо пpовеpили эцп, pасшифpовав из аpхива и сpавнив с откpытым текстом либо

зашифpовали и сpавнили с вытащенным из аpхива либо... (пpидумай сам - не знаю я

для чего ты всю эту хpень использовать собpался) 8-)) составляем акт: мы,

комиссия в составе... в соответствии с... пpоизвели пpовеpку..., каковая

показала, что козлом является тот-то. дата подпись. этот акт, как пpавило,

является достаточным условием для почти любого аpбитpажного суда.

Эталонную копию софта можно заложить на хранение к нотариусу. А с принятием

"Закона об ЭЦП" и появлением у нас удостоверяющих центров, весь этот разбор

полетов можно (и нужно) будет осуществлять у них. Во-первых, меньше головных

болей, во-вторых, для удостоверения идентичности электронной цифровой подписи

необходимо будет иметь лицензию ФАПСИ.

Q: Так что получается, что для использования ЭЦП мне нужна лицензия?

A: Hет, если вы не собираетесь:

- быть удостоверяющим центром для сторонних организаций;

- распространять средства ЭЦП;

- осуществлять техническое обслуживание средств ЭЦП (у сторонних организаций);

- изготавливать и распространять ключи ЭЦП для сторонних организаций;

В каких случаях нужна лицензия ФАПСИ читайте в постановлении Правительства

РФ N326 от 11.04.2000. Вопрос о том, требуется ли лицензия для "предоставления

услуг ЭЦП" или нет, не достаточно чётко изложен в действующем законодательстве.

IX. Криптографическое программное обеспечение (ссылки и краткое описание).

Q: Я не хочу глубоко вникать во все эти тонкости, где найти готовое?

если хочется взять просто последовательность, то по ФТП можно вытянуть

сидюк целиком или любой из 60 ~10М файлов с "хорошими" случайными

последовательностями. всего на CDROM ок 4.8 миллиардов случайных бит

Q: Ну, это реализации и библиотеки. А что-нибудь для укрепления теоретических

знаний?

A: Для начала рекомендуется посетить приведенные ниже странички. На них уйма

материала и ссылок. Приведены именно эти, т.к. они живут давно и

устойчиво, в то время как другие периодически появляются и исчезают.

Q: А у меня напряги с интернетом. В бумажном виде что посоветуете?

A: Вот список, разбитый по разделам:

1. Литература общего характера

1. Gilles Brassard. Modern Cryptology. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1988.

(Lecture Notes in Computer Science; 325).

2. Bruce Schneier Applied Cryptography: Protocols, Algorithms and Source Code

in C. - John Wiley & Sons, 1993. - 618 p.

3. Мафтик С. Механизмы защиты в сетях ЭВМ: Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - 216

с.

4. Дориченко С.А., Ященко В.В.: 25 этюдов о шифрах. - М.: Теис, 1994. - 71 с. -

(Математические основы криптологии).

5. Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. - М.: ABF, 1996. - 335

с. ISBN 5-87484-054-0

6. Петров А.А. "Компьютерная безопасность. Криптографические методы",

М., "ДМК", 2000, ISBN 5-89818-064-8

7. Под общ. pед. В. В. Ященко, "Введение в кpиптогpафию"

М.: МЦHМО, 2000, 288 c., ISBN 5-900916-65-0, Тиpаж 3000 экз.

8. Варфоломеев А.А., Пеленицын М.Б. "Методы криптографии и их применение в

банковских технологиях",

М.: МИФИ, 1995, 116 с., УДК 681.3.004.4

(тираж 500 экз.)

2. Криптосистемы с секретным ключом (симметричные)

1. FIPS publication 46 Data Encryption Standard // Federal Information

Processing Standards Publ. - 1977.

2. Eli Biham, Adi Shamir. Differential Cryptanalysis of DES-like cryptosystems

// Journal of Cryptology. - 1991. - + 4(1). - P. 3-72.

3. Eli Biham, Adi Shamir. Differential Cryptanalysis of the full 16-round DES

// Advances in Cryptology - CRYPTO"92. - Berlin etc.: Springer-Vergal, 1993.

(Lecture Notes in Computer Science; 740).

4. Matsui Mitsuru. Linear Cryptoanalysis Method for DES Cipher // Advances in

Cryptology - EUROCRYPT"93. - Berlin ect.: Springer-Vergal, 1994. (Lecture Notes

in Computer Science; 765). - P. 380-397.

5. K.W. Campbell, M.J. Wiener. DES is Not a Group // Advances in Cryptology -

CRYPTO"92. - Berlin etc.: Springer-Vergal, 1993. (Lecture Notes in Computer

Science; 740). - P. 512-520.

6. Merkle R.C., Hellman M.E. On the security of multiple encryption //

Communications of the ACM. - 1981. - Vol. 24. - P. 465-467.

7. ГОСТ 28147-89. Системы обработки информации. Защита криптографическая.

Алгоритм криптографического преобразования.

8. Винокуров А. ГОСТ не прост..., а очень прост! // Монитор. - 1995. - +1. -

С. 60-73.

9. Xuejia Lai, James L. Massey A proposal for a New Block Encryption Standard

// Advances in Cryptology - EUROCRYPT"90. - Berlin ect.: Springer-Vergal, 1991.

(Lecture Notes in Computer Science; 473). - P. 389-404.

10. Willi Meier On the security of the IDEA Block Cipher // Advances in

Cryptology - EUROCRYPT"93. - Berlin ect.: Springer-Vergal, 1994. (Lecture Notes

in Computer Science; 765). - P. 371-385.

2.1. Аутентификация и идентификация с помощью симметричных криптосистем

1. Yvo Desmedt. Unconditionally secure authentification schemes and practical

and theoretical consequences // Advances in Cryptology - CRYPTO"85. - Berlin

ect.: Springer-Vergal, 1986. (Lecture Notes in Computer Science; 218). -

P.42-55.

2. Robert R. Jueneman. A High Speed Manipulation Detection Code // Advances in

Cryptology - CRYPTO"86. - Berlin ect.: Springer-Vergal, 1987. (Lecture Notes in

Computer Science; 263). - P. 327-346.

3. Bart Preneel, Paul C. van Oorshot. MDx- MAC and Building Fast MACs from

Hash Functions // Advances in Cryptology - CRYPTO"95. - Berlin ect.:

Springer-Vergal, 1995. (Lecture Notes in Computer Science; 963). - P. 1-14.

4. Mihir Bellaro, Joe Kilian, Philip Rogaway. The Security of Cipher Block

Chaining. // Advances in Cryptology - CRYPTO"95. - Berlin ect.:

Springer-Vergal,

1995. (Lecture Notes in Computer Science; 963). - P. 341-358.

5. Bart Preneel, Paul C. van Oorschot. On the Security of Two MAC Algorithms

// Advances in Cryptology - EUROCRYPT"96. - Berlin ect.: Springer-Vergal, 1996.

(Lecture Notes in Computer Science; 1070). - P. 19-32.

6. Metzger P., Simpson W. IP Authentication using Keyed MD5. - Network Working

Group. - RFC 1828. - August 1995.

7. Burt Kaliski, Matt Rodshaw. Message Authentication with MD5 // CryptoBytes.

- Spring 1995. - Vol. 1., No. 1. (The technical newsletter of RSA Laboratories,

a division of RSA Data Security, Inc).

8. Ronald Rivest. The MD5 Message-Digest Algorithm. - Network Working Group. -

RFC 1321.

9. Bert den Boer, Antoon Bosselaers. Collisions for the Compression Function

of MD5 // Advances in Cryptology - EUROCRYPT"93. - Berlin ect.:

Springer-Vergal,

1994. (Lecture Notes in Computer Science; 765).

10. Hans Dobbertin. Cryptanalysis of MD5 Compress.

11. Hans Dobbertin. The Status of MD5 After a Recent Attack // CryptoBytes. -

Spring 1996. - Vol. 2., No. 2. (The technical newsletter of RSA Laboratories, a

division of RSA Data Security, Inc). P. 1-6.

12. NIST FIPS PUB 180-1. Secure Hash Standard. - National Institute of

Standards and Technology, US Department of Commerce. - 17 Apr 1995.

13. Martin Abadi, Roger Needham. Prudent Engineering Practice for Cryptographic

Protocols. - June 1, 1994. - 31 p. - (Rep. DEC Systems Research Center, No.

125).

3. Криптосистемы с открытым ключом (асимметричные)

1. Терехов А.H., Тискин А.В. Криптография с открытым ключом: от теории к

стандарту // Программирование. - 1994. - + 5. - Р. 17-22.

2. IEEE P1363: Standard for Public-Key Cryptography (Working Draft).

3. А. Саломаа "Криптография с открытым ключом",

М., МИР, 1996, ISBN 5-03-0011991-X

3.1. Алгебраические основы

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М., 1949. - 180 с.

2. Дональд Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные

алгоритмы: пер. с англ. - М., Мир, 1977. - 724 с.

3. Лидл Р., Hидеррайтер Г. Конечные поля: пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - в

2-х т.

4. Ахритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями: пер. с англ. - М.:

Мир, 1994. - 544 с.

5. Victor S. Miller. Use of Elliptic Curves in Cryptography // Advances in

Cryptology - CRYPTO"85. - Berlin etc.: Springer-Verlag , 1986. (Lecture Notes

in

Computer Science; 218). - P. 417-426.

6. Alfred Menezes. Elliptic Curve Public Key Cryptosystems. - Boston: Kluwer

Academic Publishers - 1993.

7. Alfred Menezes. Elliptic Curve Cryptosystems. // CryptoBytes. - Spring

1995. - Vol. 1., No. 2. (The technical newsletter of RSA Laboratories, a

division of RSA Data Security, Inc). P. 1-4.

8. Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест "Алгоритмы. Построение и анализ",

М., МЦНМО, 1999, ISBN 5-900916-37-5

9. Нечаев В.И. "Элементы криптографии (Основы теории защиты информации)",

М.: Высш. шк., 1999. - 109 с. ISBN 5-06-003644-8

3.2. Односторонние функции

1. Erich Bach. Intractable Problems in Number Theory // Advances in Cryptology

- CRYPTO"88. - Berlin etc.: Springer-Vergal, 1989. (Lecture Notes in Computer

Science; 403). - P. 77-93.

2. Andrew M. Odlyzko. The Future of Integer Factorization // CryptoBytes -

Summer 1995. - Vol. 1., No. 2. (The technical newsletter of RSA Laboratories, a

division of RSA Data Security, Inc). - P. 5-12.

3. Pohlig S, Hellman M.E. An improved algorithm for computing logarithms over

GF(p) and its cryptographic significance // IEEE Trans. on Information Theory.

- 1978. - vol. IT - 24. - P. 106-110.

4. Andrew M. Odlyzko. Discrete Logarithms in Finite Fields and their

Cryptographic Significance // Advances in Cryptology - EUROCRYPT"84. - Berlin

etc.: Springer-Vergal, 1985. (Lecture Notes in Computer Science; 209). - P.

224-314.

5. Benny Chor, Oded Goldeich. RSA/Rabin least significant bits are

1/2+1/(poly(log n)) secure // Advances in Cryptology - CRYPTO"84. - Berlin

etc.:

Springer-Vergal, 1985. (Lecture Notes in Computer Science; 196). - P. 303-313.

6. Benny Chor, Oded Goldeich, Shafi Goldwasser. The Bit Security of Modular

Squaring given Partial Factorization of the Modulos // Advances in Cryptology -

CRYPTO"85. - Berlin etc.: Springer-Vergal, 1986.

(Lecture Notes in Computer Science; 218). - P. 448-457.

3.3. Асимметричные криптосистемы

1. Diffie W., Hellman M.E. New directions in cryptography // IEEE Trans. on

Information Theory. - 1976. - vol. IT -22. - P. 644-654.

2. Bert den Boer. Diffie-Hellman is as Strong as Discrete Log for Certain

Primes // Advances in Cryptology - CRYPTO"88. - Berlin etc.: Springer-Verlag,

1989. (Lecture Notes in Computer Science; 403). - P. 530-539.

3. Ueli M. Maurer Towards the Equivalence of Breaking the Diffie-Hellman

Protocol and Computing Discrete Logarithms // Advances in Cryptology -

CRYPTO"94. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1995. (Lecture Notes in Computer

Science; 839). - P. 271-281.

4. Ronald L. Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. A Method for Obtaining

Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems // Communications of the ACM. -

1978. - Vol. 21, No. 2- P. 120-126.

5. Johan Hastad. Using RSA with low exponent in a public key network //

Advances in Cryptology - CRYPTO"85. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1986.

(Lecture Notes in Computer Science; 218). - P. 403-408.

6. Don Coppersmith, Matthew Franklin, Jacques Patarin, Michael Reiter.

Low-Exponent RSA with Related Message // Advances in Cryptology - EUROCRYPT"96.

- Berlin etc.: Springer-Verlag, 1996. (Lecture Notes in Computer Science;

1070). - P. 1-9.

7. Taher El Gamal. A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on

Discrete Logarithms // IEEE Trans. on Inform. Theory. - July 1985. - vol. IT

-31, No. 4. - P.469-472.

8. Taher El Gamal. A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on

Discrete Logarithms // Advances in Cryptology - CRYPTO"84. - Berlin etc.:

Springer-Verlag, 1985. (Lecture Notes in Computer Science; 196). - P. 10-18.

3.4. Цифровая подпись

1. Ross Anderson, Roger Needham. Programming Satan"s Computer // (Lecture

Notes in Computer Science; 1000).

2. Daniel Bleichenbacher. Generating ElGamal Signatures Without Knowing the

Secret Key // Advances in Cryptology - EUROCRYPT"96. - Berlin etc.:

Springer-Verlag, 1996. (Lecture Notes in Computer Science; 1070). - P. 10-18.

3. FIPS PUB 186, Digital Signature Standard (DSS). - National Institute of

Standards and Technology, US Department of Commerce. - 19 May 1994.

4. Gustavus J. Simmons. Subliminal Communication is Easy Using the DSA //

Advances in Cryptology - EUROCRYPT"93. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1994.

(Lecture Notes in Computer Science; 765). - P. 218-232.

5. ГОСТ Р 34.10-94. Информационная технология. Криптографическая защита

информации. Процедуры выработки и проверки электронной цифровой подписи на базе

асимметричного криптографического алгоритма. - Введ. 01.01.95. - М.: Изд-во

стандартов, 1994

6. Birgitt Pfotzmann. Digital Signature Schemes. General Framework and

Fail-Stop Signatures. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1990. (Lecture Notes in

Computer Science; 1100). - P. 396.

7. David Chaum, Hans van Antwerpen. Undeniable Signatures // Advances in

Cryptology - CRYPTO"89. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1990. (Lecture Notes in

Computer Science; 435). - P. 212-216.

8. David Chaum. Zero-Knowledge Undeniable Signatures // Advances in Cryptology

- EUROCRYPT"90. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991. (Lecture Notes in

Computer

Science; 473). - P. 458-464.

9. Amos Fiat, Adi Shamir. How to prove yourself: Practical Solutions to

Identification and Signature Problems // Advances in Cryptology - CRYPTO"86. -

Berlin etc.: Springer-Verlag, 1987. (Lecture Notes in Computer Science; 263). -

P. 186-194.

10. Uriel Feige, Amos Fiat, Adi Shamir. Zero Knowledge Proofs of Identity //

Proc. 19th Annual ACM Symp. on Theory of Computing. - 1987. - P. 210-217.

11. Uriel Feige, Amos Fiat, Adi Shamir. Zero Knowledge Proofs of Identity //

Journal of Cryptology. - Vol. 1, No. 2. - 1988. - P. 77-94.

12. Silvio Micali, Adi Shamir. An Improvement of the Fiat-Shamir Identification

and Signature Scheme // Advances in Cryptology - CRYPTO"88. - Berlin etc.:

Springer-Verlag, 1989. (Lecture Notes in Computer Science; 403). - P. 216-231.

13. Schnorr C.P. Efficient Identification and Signatures for Smart Cards //

Advances in Cryptology - CRYPTO"89. - Berlin etc.: Springer-Verlag, 1990.

(Lecture Notes in Computer Science; 435). - P. 239-251.

 

Q: А что есть стандартного в области криптографии в Windows?

A: Криптографические функции есть начиная с Win95 osr 2, WinNT 4.0.

В частности функция зашифрования называется CryptEncrypt(a,w), а расшифрования

CryptDecrypt(a,w).

Q: Где взять более подробное описание (прототипы функций) и

что там используется ?

A: Как обычно - берешь Win32 API... Алгоpитмы могyт быть любыми, поcколькy

cиcтема pаcшиpяемая и позволяет подключение дополнительных кpиптопpовайдеpов.

Cтандаpтный кpиптопpовайдеp, входящий в cоcтав Win* иcпользyет RSA для обмена

ключами и ЭЦП, RC2 и RC4 для шифpования и MD5 и SHA для хэшиpования. Описание

констант и функций, например, в wincrypt.h от C++ Builder-а 3.0. Алгоритм-это

преимущественно RSA или сделанный на ее платформе.

Provider Type Key Exchange Signature Encryption Hashing

PROV_RSA_FULL RSA RSA RC2, RC4 MD5, SHA

PROV_RSA_SIG n/a RSA n/a MD5, SHA

PROV_DSS n/a DSS n/a SHA

PROV_FORTEZZA KEA DSS Skipjack SHA

PROV_MS_EXCHANGE RSA RSA CAST MD5

PROV_SSL RSA RSA varies varies

X. ПРИЛОЖЕНИЯ. Примеры реализации.

Первоначальная мысль вставить это сюда была критически обдумана и отброшена -

слишком большой объем. Вместо этого решено было создать библиотеку реализаций

и сложить в одном месте в инете.

XI. Здесь пары вопрос/ответ, которые я затруднился определить в какой-либо

раздел. Вобщем, "разное" :)

Q: Как проверить "случайность" моего ГСП (генератор случайной

последовательности).

A1: В интеpнете есть "Diehard test battery". Этот комплект содеpжит 15 тестов

чисел на случайность.

A2:

Предположим у тебя имеется файл (массив,набор чисел) значений некоторой

случайной величины и ставится задача изучения ее свойств, т.е. являются ли

эти значения равномерно распределенными (равновероятными) в некотором

интервале.

Относительно изучаемой случайной величины можно сделать два предположения,

называемых нуль-гипотезой и альтернативной гипотезой:

1) Случайная величина имеет равномерное распределение (нуль-гипотеза)

2) Случайная величина не имеет равномерного распределения, т.е. закон

распределения случайной имеет уклонения от равномерного распределения

(альтернативная гипотеза).

В математической статистике сущесвуют ряд тестов, назваемых критериями

согласия для проверки функции распределения случайной величины на предмет ее

соответствия теоретически ожидаемому закону распределения. Примерами

таких критериев согласия являются Хи-квадрат (критерий Пирсона) и критерий

Kолмогорова-Смирнова, критерий серий и т.д. Kритериев много.

Статистические критерии могут установить только отличие теоретического

и экспериментального распределений, поэтому нуль-гипотеза,как правило

выдвигается для проверки - нет ли оснований для ее отбрасывания.

Другими словами невозможно доказать "чистую случайность" последовательности,

но можно с определенной степенью вероятности опровергнуть противоположное

утверждение. Таким образом, для решения является ли различие достоверным

необходимо установить границы для близости-различия частот в выборке и

теоретически ожидаемых частот. Данная величина называется уровнем значимости,

и обычно принимает значения 5%, 1%, 0.1%. Результат называется значимым на

уровне 5%, если правильная нуль-гипотеза будет отклонена не более, чем в 5%

случаев.

Kритерий согласия Хи-квадрат.

Пусть необходимо протестировать генератор, выдающий некоторую

последовательность бит, относительно которой выдвигается нуль-гипотеза

о том, что эта последовательность имеет равномерное распределение.

Обозначим объем выборки n. Пусть мы сгенерировали 100 бит, тогда n=100.

Пусть выборка разделена на k классов. Если, например, исследуем частоты

появления только 0 и 1 - тогда количество классов два. Пусть В_i -

наблюдаемая частота=количество появлений некоторого признака в выборке.

Обозначим В_0 - количество нулей, В_1 - количество единиц.

Пусть E_i - ожидаемая частота признака i. Для нашего случая E_0=E_1= 0.5*n.

Формула Хи-квадрат для вычисления различия между экспериментальным и

теоретическим распределениями следующая:

i=k-1

____ 2

(В_i - Е_i)

Хи-квадрат = /___ -------------

i=0 Е

Для численного анализа вводится понятие "степеней свободы" K=(k-1).

В результате обработки экспериментальных данных получаем два числа:

Хи-квадрат и K. Выберем уровень значимости=вероятность ошибки, напрмер 0.1%

Открываем справочник (учебник) по мат.статистике или терии вероятностей

и находим таблицу 5%, 1% и 0.1% границ для Хи-квадрат. Если значение

Хи-квадрат меньше или равно табличному, то нуль-гипотеза принимается.

Иначе - отклоняется.

Если для заданного количества степеней свободы найти в таблице вычисленное

значение Хи-квадрат, то можно узнать уровень значимости=вероятность ошибки.

Чтобы получить польше подтверждений о качестве генератора, тесты необходимо

прогнать для разных значений k, т.е применить изложенный теоретический материал

к случайным величинам вида

- 00,01,10,11 E_i=0.25 = 1/(2^2)

- 000, 001, 010 ... E_i=0.125 = 1/(2^3)

- 0000, 0001, E_i= 1/(2^4)

и т.д

Чем больше тестов, тем больше вероятностей отбросить сомнения.

>Ограничение: для использования критерия согласия Хи-квадрат выборка должна

быть не слишком малой ! т.е. (n >= 40) и ожидаемые частоты должны быть не

менее 5 (Е_i >= 5). Если они меньше, то их необходимо увеличить до требуемого

уровня путем объединения соседних классов.

Критерий согласия Kолмогорова-Смирнова (K-С)

Согласно критерию Kолмогорова-Смирновапроверяемая гипотеза - выборка относится к равномерному распределению. Определяют значения Е и В и образуют функцию накопленной частоты Fe и Fb, находят максимум разности и делят на объем выборки n.

Таблица уровня значимости:

5% 1.36 * корень из(n)

1% 1.63 * корень из(n)

Если вычисленное значение K-С меньше или равно соотвующему уровню значимости, то

нуль-гипотеза принимается, иначе отклоняется.

Ограничения объема выборки n>35.

Hа страничке Санкт-Петербургского Технического Университета есть книга “Поточные шифры. Результаты зарубежной открытой криптологии” - (автор неизвестен). Глава 3 называется “Статистические свойства и меры сложности последовательностей” (стр.35-43). В этой главе были описаны:

  • Тест повторений
  • Сравнение тестов l-грамм
  • Комбинирование тестов
  • Отсечение слабых последовательностей.
  • Автокорреляционный тест
  • Универсальный тест
  • Частотный тест
  • Последовательный тест
  • Тест серий

Существует по крайней мере два алгоритма проверки простоты чисел для общего случая: APR-CL (Adleman, Pomerance and Rumely; Cohen and Lenstra), по имени ученых, которые предложили и развили алгоритм) и ECPP (Elliptic Curve Primality Test). По времени выполнения они приблизительно одинаковые. Преимущество ECPP в том, что оно создает некий сертификат, используя который можно в любой момент проверить простое число или нет в сравнительно короткое время.

Кроме того, есть специальные издания, в которых описаны тесты на простоту, например [1,2].

В первой описаны такие алгоритмы:

  • Метод непрерывных дробей CFRAC
  • (p-1)-метод Полларда
  • Метод эллиптических кривых
  • Факторизация Ферма
  • Вероятностный алгоритм CLASNO
  • Алгоритм Шенкса SQUFOF

Во второй описан APR-CL.

Не рекомендуется привязывать построенный уникальный ключ программы к комплектующим компьютера: номеру материнской платы, процессора, жесткого диска, сетевой карты. Привязка к “железу” неудобна в использовании, поскольку при модернизации комплектующих, возникнет много проблем с поддержкой своей программы.

Не существует понятие необратимого шифрования. Шифрование по определению обратимо, иначе это действие бессмысленно. Обычно используется понятие хэш (свертка).

Согласно Шеннону, если некоторый источник информации способен генерировать N различных символов S1, S2, ..., SN с вероятностями p1, p2, ..., pN, то количество информации,

поступающее с отдельным символом (т.е. теоретически минимальное число бит, которое придется в среднем затратить на кодирование отдельного символа) составляет:

I = - sum{i=1}{N} {pi * log2 pi}

(минус сумма произведений вероятности возникновения i-го символа на логарифм по основанию два от этой же вероятности).

Эта функция достигает максимума в случае, если все вероятности pi равны между собой, и меньше во всех остальных случаях (наименьшее значение - 0, достигается тогда, когда вероятность возникновения одного из символов равна 1, а вероятности всех остальных равны нулю).

Следствие 1: если способ кодирования и статистические характеристики входного потока данных таковы, допускают сжатие 1:1000000, то любой “правильный” архиватор для данного входного потока обеспечит близкий к этому значению коэффициент сжатия.

Следствие 2: если входной поток представляет собой множество реализаций равномерно распределенной случайной величины, представленных в равномерном безызбыточном коде (а такой, видимо, обычно и получается после операции шифрования), то не существует

аpхиватоpа, обеспечивающего хоть какое-нибудь сжатие подобного

потока.

Список литературы

1) “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.” Т. 49. 1990., с. 63

2) Алгебра и теория чисел (с приложениями): Избранные доклады семинара H.Бурбаки:

Сб. статей 1976-1985 гг. Пер. с англ. и франц. - М. Мир, 1987., с. 47

3) Riesel H. Prime numbers and computer methods for factorization // Progr. Math.

57. - Birkhaser: Boston, 1985. - 464 c.

5) Williams H. C. Primality testing on a computer,

Arts Combin. 5(1978). 127-185.

2) Solovay R. Strassen V.

A fast Monte-Carlo test for primality, SIAM J. Comput. 6(1977),

84-85, 7(1978), 118

6) Adleman L. M. On distinguishing prime numbers from composite numbers

(abstract) Proc 21st Annual IEEE Symposium on Foundation of

Science (1980) 387-406.

7) Adleman L.M., Pomerance C. Rumely R.S.

On distiguishig prime numbers from composite numbers,

Ann. of Math. 117(1983) 173-206

8) Pollard J.M. Theorems on factorization and primality testing,

Proc. Cambrdge Philos. Soc. 76(1974), 521-528