Расскажи друзьям!

Основы интегрального исчисления.

Основы интегрального исчисления.

Содержание.

1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

  1. Непределенный интеграл.

2.1 Свойства неопределенного интеграла.

2.2 Правила интегрирования.

2.3 Таблица непределённых интегралов.

3. Решение нетабличных непределенных интегралов.

3.1 Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование простейших и рациональных дробей.

    1. Интегрирование простейших дробей.
    2. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
    3. Интегрирование рациональных дробей.
  1. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.
  2. 5.1 Интегралы вида Универсальная подстановка.

    5.2 Интегралы вида (m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0).

    5.3 Интегралы вида , , (n є N, n > 1).

    нтегралы вида(m, n є R).

  3. Интегрирование иррациональных выражений.
  4. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
    1. Основные свойства определенного интеграла.
    2. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

8. Методы решения определенного интеграла.

8.1 Замена переменной.

8.2Интегрирование по частям.

  1. Вычисление площадей плоских фигур.
  2. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

10.1 Дифференциал длины дуги.

11. Упражнения для самостоятельной подготовки.

    1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.

Нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

Определение 1.1. Функция F(x),, называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

Теорема 1.1. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

Теорема 1.2. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.

  1. Непределенный интеграл.

Определение 2.1. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

- (1)

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x)подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

2.1 Свойства неопределенного интеграла.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из определения 2.1.

1. (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

2. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

3. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

6. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

и .

2.2 Правила интегрирования.

Приведем основные правила интегрирования функций.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

2.3 Таблица непределённых интегралов.

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов.

1. (n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. (a≠0).

15.(a≠0).

16. (|u| > |a|).

17. (|u| < |a|).

18.

19.

(u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, можно проверить дифференцированием их правых частей.

3. Решение нетабличных непределенных интегралов.

3.1 Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

1. Интегрирование подстановкой (замена переменной). Метод замены переменных используют для решения нетабличных интегралов. Суть метода состоит в том, что в интеграле переменную х заменяют переменной t по формуле x=φ(t), тогда dx=φ’(t)dt.

Теорема 3.1.1. Допустим, функция x=φ(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, а множество Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедливо соотношение:

- (2)

Формула (2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

2.Интегрирование по частям.Метод интегрирования по частям вытекает из формулы дифференциала произведения двух функций. Рассмотрим – две дифференцируемые функции переменной х u(x) и v(x). Тогда:

d(uv)=udv+vdu. – (3)

Интегрируя обе части равенства (3), получаем:

Но так как , то:

- (4)

Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла . Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост для вычисления, нежели исходный.

Так как в правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий произвольную постоянную, в формуле (4) отсутствует произвольная константа С.

Типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям:

  1. Интегралы вида , , (Pn(x) – многочлен степени n, k – некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
  2. Интегралы вида , , , , (Pn(x) – многочлен степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
  3. Интегралы вида ,

(a, b – числа) вычисляются двукратным интегрированием по частям.

4. Интегрирование простейших и рациональных дробей.

    1. Интегрирование простейших дробей.

Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

1)

2)

3)

4)

Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е. p2/4-q < 0.

Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:

Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:

    1. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.

Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены:

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n≥m), то дробь называется неправильной. Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе (n≤m), то дробь называется правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби ; Pn(x) – остаток (многочлен степени n < m).

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого типов. Для разложения на простейшие дроби необходимо разложить знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение:

- (5)

Теорема. Правильную рациональную дробь, где, можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

- (6)

(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые действительные числа).

    1. Интегрирование рациональных дробей.

1) Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано разложение правильной рациональной дроби по формуле (6) на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену Pn(x).

2) Метод частных значений. При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.

Теорема 4.3.1Правило интегрирования рациональных дробей. Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

1) если рассматриваемая рациональная дробь - неправильная (k≥m), представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

где n < m; R(x) – многочлен;

  1. если рассматриваемая рациональная дробь - правильная (n < m), представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле (6);
  2. интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти интегралы.
  1. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.

5.1 Интегралы вида Универсальная подстановка.

Будем рассматривать интегралы вида:

- (7)

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы “подведения” множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке .

5.2 Интегралы вида (m, n є Z, m ≥ 0, n ≥ 0).

Если хотя бы одно из чисел m и n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2x+cos2x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.

5.3 Интегралы вида , , (n є N, n > 1).

Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответсвенно.

Если t=tgx, то x=arctgt, . Тогда:

.

Последний интеграл при n ≥ 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt, , откуда:

    1. Интегралы вида(m, n є R).

Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

  1. Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы вида(m1, n1, m2, n2, … - целые числа).

В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=ts, где s – общий знаменатель дробей , , … При такой замене переменной все отношения = r1, = r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:

Интегралы вида(m1, n1, m2, n2, … - целые числа).

Эти интегралы решают подстановкой:

где s – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной t.

Интегралы вида .

Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:

и применяется подстановка:

, dx=du.

В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I1 – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.

Квадратный трехчлен ax2+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой

u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.

Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома , выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

    1. если p є Z, то применяется подстановка:
    2. x=ts,

      где s – общий знаменатель дробей m и n;

    3. если Z, то используется подстановка:
    4. a+bxn=ts,

      где s – знаменатель дроби

    5. если

Z, то применяется подстановка:

ax-n+b=ts,

где s – знаменатель дроби

  1. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение 7.1.Если существует конечный передел интегральной суммы

- (8)

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξk, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией.

Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения τn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек ξk.

Чем меньше , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при λ→0:

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

    1. Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенного интеграла.

    1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:
    2. Это свойство следует из определения интеграла.

    3. Если f(x)=1, то
    4. Действительно, так как f(x)=1, то

    5. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
    6. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
    7. R.

    8. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6. (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то

a < b.

8. (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то

a >b.

9. (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.

10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Теорема 7.1.1 ( о среднем): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

    1. Производная определенного интеграла по верхнему пределу.

Формула Ньютона-Лейбница.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:

x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х.

Теорема 7.2.1. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

- (9)

8. Методы решения определенного интеграла.

8.1 Замена переменной.

Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема 8.1.1. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=φ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем φ([t1; t2])=[a; b] и φ(t1)=a, φ(t2)=b, то справедлива формула:

- (10)

    1. Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]:

- (11)

С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница

Следовательно, формула (11) принимает вид:

- (12)

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

9.Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t1 иt2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2].

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:

10.Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.

Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) – непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2, вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением ρ=ρ(θ), α ≤ θ ≤ β, то длина дуги равна:

    1. Дифференциал длины дуги.

Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

11. Упражнения для самостоятельной подготовки.

  1. Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

1) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

2) .

Решение:

Проверка:

- верно.

__________________________________________________________________________________

3) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

4) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

5) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

6) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

7) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

8)

Решение:

Проверка:

- верно.

__________________________________________________________________________________

9) .

Решение:

Проверка:

- верно.

___________________________________________________________________________

2. Найти неопределенные интегралы:

1) .

Решение:

___________________________________________________________________________

2) .

Решение:

___________________________________________________________________________

3) .

Решение:

___________________________________________________________________________

4) .

Решение:

___________________________________________________________________________

5) .

Решение:

___________________________________________________________________________

6) .

Решение:

___________________________________________________________________________

7) .

Решение:

___________________________________________________________________________

8) .

Решение:

___________________________________________________________________________

9) .

Решение:

___________________________________________________________________________

10) .

Решение:

__________________________________________________________________________________

11) .

Решение:

___________________________________________________________________________

12) .

Решение:

___________________________________________________________________________

13) .

Решение:

___________________________________________________________________________

14) .

Решение:

___________________________________________________________________________

15) .

Решение:

___________________________________________________________________________

  1. Вычислить определенный интеграл:
  2. 1) .

    Решение:

    ___________________________________________________________________________

    2) .

    Решение:

    ___________________________________________________________________________

    3) .

    Решение:

    ____________________________________________________________________________

  3. Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:

1) .

Решение:

- интеграл I рода.

- сходящийся.

____________________________________________________________________________

2) .

Решение:

- интеграл II рода.

- расходящийся.

____________________________________________________________________________

3) .

Решение:

___________________________________________________________________________________