Расскажи друзьям!

Плоскости проекций, координаты и проекции точки

ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ, КООРДИНАТЫ И ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ

План

Введение

    1. Ортогональная двухмерная система проекций
    2. Ортогональная трехмерная система проекций
    3. Координаты и проекции точки и ее радиус-вектора
    4. Базисный эпюр

ВВЕДЕНИЕ

Основное назначение начертательной геометрии состоит в том, чтобы подготовить будущего специалиста не только к грамотному выполнению чертежей, но и к решению различных технических задач, среди которых важное место занимают задачи пространственной статики и механики. Необходимо развивать умение ориентировать тот или иной предмет относительно декартовых осей координат. Указанные навыки необходимы и при изучении таких разделов начертательной геометрии, как перспектива и аксонометрия.

1. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ДВУХМЕРНАЯ СИСТЕМА ПРОЕКЦИЙ

Ортогональное проецирование состоит в смещении предмета на две взаимно перпендикулярные плоскости с помощью лучей, перпендикулярных к этим плоскостям.

Плоскости проекции располагаются горизонтально и вертикально.

Плоскость Hназывается горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость V— фронтальной. Плоскости Hи V бесконечны и непрозрачны. Плоскостями проекций пространство делится на четыре двугранных угла — четверти. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается OX.

Будем считать, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. В связи с тем, что плоскости проекций непрозрачны, видимыми для наблюдателя будут только точки, линии и фигуры, расположенные в пределах той же первой четверти.

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

На рисунке изображена точка А и ее ортогональные проекции а1и а2.

Точка а1 называется горизонтальной проекцией точки А, точка а2 фронтальной проекцией точки А. Каждая из точек а1 и а2является основанием перпендикуляра, опущенного из точки А соответственно на плоскости H и V.

Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси ОХи пересекающих эту ось в одной и той же точке, поскольку проецирующие лучи Аа1 и Аа2определяют плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аxи а2 аx, образующим с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx.

Верно и обратное утверждение. Если на плоскостях проекций даны точки a1и a2, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то эти точки являются проекциями некоторой точки А. Эта точка А определяется пересечением перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к плоскостям H и V.

Может оказаться иным взаимное положение плоскостей проекций в пространстве. К примеру, обе взаимно перпендикулярные плоскости могут быть горизонтальными. Но и в этом случае доказанное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относительно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате передняя полуплоскость H совмещается с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V.

Эпюр (от франц. еpure – чертеж) - это проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем изображенным на них совмещены определенным образом. На рисунке показан эпюр точки А.

При подобном способе совмещения плоскостей H и V проекции a1и a2окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси OX. При этом расстояние a1ax(от горизонтальной проекции точки до оси OX) равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2ax(от фронтальной проекции точки до оси OX)равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.

Линии проекционной связи - это прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре.

На рисунке изображены точки М и N, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, другая же проекция ее оказывается лежащей на оси OX. Около той проекции, с которой совпадает сама точка, пишется заглавная буква без индекса.

Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находится данная точка. Например, если точка В лежит во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проекции будут находиться над осью OX.

Если точка С находится в третьей четверти, то ее горизонтальная проекция после совмещения плоскостей будет располагаться над осью, а фронтальная — под осью OX. И, наконец, если точка D расположена в четвертой четверти, то обе ее проекции окажутся под осью OX.

Стоит отметить особый случай, когда обе проекции точки совпадают. Такое возможно, если точка находится во второй или четвертой четверти на равном расстоянии от плоскостей проекций.

Если точка находится на оси OX, то обе проекции совмещаются с самой точкой.

Здесь должен быть рисунок (плоскостей, эпюров и т.п.)

2. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ТРЕХМЕРНАЯ СИСТЕМА ПРОЕКЦИЙ

В связи с тем, что любые тело или фигура это совокупность точек, верно утверждение, что для определения формы предмета достаточно двух ортогональных проекций (при наличии буквенных обозначений).

Однако, в практике изображения различных инженерных сооружений, машин и строительных конструкций очень часто необходимо построение дополнительных проекций. Главная цель этого — сделать проекционный чертеж легко читаемым и понятным.

На рисунке изображена модель трех плоскостей проекций. Плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается буквой W и называется профильной.

Проекции точек на профильную плоскость также называются профильными и обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3 (aз, bз, cз, ... 1з, 2з, 33...).

Попарно пересекаясь, плоскости проекций образуют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые рассматриваются как система прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом координат в точке О.

Показанная на рисунке система знаков определяется “правой системе” координат.

Все пространство делится тремя плоскостями проекций на восемь трехгранных углов —октантов. Нумерация октантов дана на рисунке.

Снова предполагаем, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.

Чтобы получить эпюр, плоскости H иW вращают до совмещения их с плоскостью V. В результате вращения передняя полуплоскость H совмещается с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совмещается с правой полуплоскостью V, а задняя полуплоскость W — с левой полуплоскостью V.

Вид совмещенных плоскостей проекций показан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены лишь один раз, а ось ОY — дважды. Это можно объяснить так. Ось ОY, вращаясь с плоскостью H, на эпюре совмещается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, совмещается с осью ОX.

При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, ОY, ОZ) не указываются.

Здесь должен быть рисунок (плоскостей, эпюров и т.п.)

3. КООРДИНАТЫ И ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА

Числа, поставленные в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности, называются координатами.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливается с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называется абсциссой, у ординатой и zаппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от данной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости Vи аппликата z — до плоскости H. Примем для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, и составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Любая точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).

Точка А,все координаты которой положительны, находится в первом октанте. Точка с координатами х = 5, y = 4 и z = 6, будет обозначена как А (5, 4, 6).

Одновременно координаты точки А являются и координатами ее радиуса-вектора ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk , где ОАХ, ОАУ, ОАгкоординаты вектора ОА.

С помощью координатного прямоугольного параллелепипеда производится построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок). Сначала на осях координат от точки О откладываются отрезки, соответственно равные 5, 4 и 6 единицам длины. На этих отрезках (Оax , Оay , Оaz), как на ребрах, строится прямоугольный параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Для определения точки А можно построить только три ребра параллелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1Aи т. д. Эти ребра образуют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется соответствующей координатой точки.

С помощью построенного координатного прямоугольного параллелепипеда можно определить все три ортогональные проекции точки А.

Лучами, проецирующими точку на координатные плоскости H, V, W являются три ребра параллелепипеда, пересекающиеся в точке А.

Ортогональная проекция точки определяется лишь двумя координатами, так как каждая из ортогональных проекций точки А располагается на плоскости.

Горизонтальная проекция a1определяется координатами х и у, фронтальная проекция a2 — координатами х и z, профильная проекция a3координатами у и z. Задание точки двумя проекциями соответствует заданию точки тремя координатами, т.к. две любые проекции определяются тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a1и a2окажутся на одном перпендикуляре к оси ОX, а проекции a2 и a3 на одном перпендикуляре к оси OZ.

Проекций a1 и a3 связаны прямыми a1ayи a3ay , перпендикулярными оси ОY, и поскольку эта ось на эпюре занимает два положения, то отрезок a1ay не может являться продолжением отрезка a3ay .

Построение проекций точки А (5, 4, 6)на эпюре по заданным координатам делается так. На оси абсцисс от начала координат откладывается отрезок Оax = х (в нашем случае х = 5),затем через точку ax проводится перпендикуляр к оси ОX, на котором с учетом знаков откладываются отрезки axa1 = у (в результате получаем a1axa2 = z (получаем a2). Остается построить профильную проекцию точки a3 . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a3проводится прямая a2az ^ OZ.

А на каком расстоянии от оси ОZ должна находиться a3?

Искомое расстояние aza3 равно у при рассмотрении координатного параллелепипеда (см. рисунок) с ребрами aza3 = Oay = axa1 = y. Отрезок aza3 откладывается вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Какие же изменения произойдут на эпюре при изменении положения точки в пространстве?

Допустим, что точка А (5, 4, 6)перемещается по прямой, перпендикулярной плоскости V. При таком движении изменяется лишь одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V. Постоянными будут оставаться координаты х и z, а проекция точки, определяемая этими координатами, т. е. a2, не изменит своего положения.

Проекция a1 станет приближаться к оси ОX, а a3 — к оси ОZ. Новому положению точки соответствуют обозначения a1(a11 a21 a31). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a12и a32) будут лежать на осях.

Точка начнет удаляться от плоскости V , переместившись из октанта I в октант II, координата у станет отрицательной, и ее абсолютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция точки, находящаяся на задней полуплоскости H, на эпюре окажется выше оси ОX, а профильная проекция, располагаясь на задней полуплоскости W, на эпюре будет слева от оси ОZ. Как всегда, отрезок az a33 = у.

При изображении предметов на практике эпюры строят без координатных осей. Потому что значимо только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций.

В этом случае плоскости проекций определяются с точностью лишь до параллельного переноса (рисунок). Их обычно перемещают параллельно самим себе с расчетом, чтобы все точки предмета оказались над плоскостью H и перед плоскостью V. Так как при этом положение оси X12оказывается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не следует связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости Hи V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были расположены на вертикальных прямых.

4. БАЗИСНЫЙ ЭПЮР

Базисный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет положения точек в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок ?x характеризует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Говоря иначе, ?x указывает, насколько точка А расположена левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком ?y, т. е. точка А внашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстояние, равное ?y. Отрезок ?z показывает превышение точки А над точкой В.

Приверженцы базисного изучения курса начертательной геометрии считают, что без осей координат можно обойтись при решении многих задач. Но, вместе с тем, они признают нецелесообразным полный отказ от осей.