Расскажи друзьям!

Кинематика

1.41. Ниже приводятся приближенные выражения для некоторых функций, справедливые при x<<1: a) 1/(1 ± x) ≈ 1 ± x, б) sqrt(1 ± x) ≈ 1 ± x/2, в) e± x ≈ 1 ± x, г) ln(1 ± x) ≈ ± x, д) sin x ≈ x, е) cos x ≈ 1 - x2/2. Определить для x=0,1 относительную погрешность значений этих функций, найденных по формулам для приближенных вычислений.

1.42. По прямой дороге АВ движется с постоянной скоростью u=20,0 м/с автомобиль. Из точки С, которая находится от АВ на расстоянии l=2000 м, в момент, когда автомобиль и точка С оказываются на одном перпендикуляре к АВ, производится выстрел из пушки (рис. 1.3). Предполагая, что снаряд летит прямолинейно с постоянной скоростью v=200 м/с, определить: а) угол α, на который нужно повернуть ствол пушки, чтобы поразить автомобиль, б) время t полета снаряда, в) путь s, который пройдет автомобиль за время t.

1.43. Имеются две моторные лодки, развивающие относительно воды скорость v = 5,00 м/с. Вода течет с одинаковой по всей ширине реки скоростью v = 0,500 м/с. Ширина реки l = 1 км. На середине реки вбиты две сваи С и D, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ширине реки l (рис 1.4). Одной лодке нужно пересечь реку строго в поперечном направлении из точки А в точку В и обратно. Второй лодке нужно проделать путь от сваи С до сваи D и обратно. а) Как должна двигаться первая лодка относительно воды, чтобы относительно, берегов перемещаться вдоль прямой АВ? б) Найти времена t1 и t2, затрачиваемые на прохождение пути 2l первой и второй лодками. в) Получить для t1 и t2 приближенные выражения, справедливые для u<<v. Найти с помощью этих выражений значения t1 и t2; сравнить их с точными значениями.

1.44. На высоте h=5000 м летит прямолинейно самолет с постоянной скоростью u=100,0 м/с. В момент, когда он находится над зенитной батареей, производится выстрел (рис. 1.5). Начальная скорость снаряда v0=500,0 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) под каким углом α к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд и самолет достигли одновременно точки пересечения их траекторий, б) на какую продолжительность полета t нужно установить взрыватель, чтобы, снаряд разорвался в точке встречи с целью, в) на какое расстояние s по горизонтали отстоит от батареи точка встречи.

1.45. Известно, что Луна все время обращена к Земле одной и той же стороной и обращается вокруг Земли за 27,3 суток. Определить угловую скорость ωЛ вращения Луны вокруг ее оси. Сравнить эту скорость с угловой скоростью ωЗ суточного вращения Земли.

1.46. Часы каждые сутки отстают на 2 минуты. Чему равно угловое ускорение β минутной стрелки?

1.47. Постоянный по модулю вектор a вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированной перпендикулярной к нему оси. Выразить производные a’ и a’’ через векторы a и ω.

1.48. Цилиндр катится без скольжения со скоростью v (рис. 1.6). Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразить их через орты координатных осей.

1.49. Шар вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, которая поворачивается в плоскости х, у с угловой скоростью ω’ = ω’ * ez (рис. 1.7). Найти: а) угловую скорость Ω и угловое ускорение β шара, а также модули этих векторов, б) угол α между векторами Ω и ω, в) угол φ между векторами β и Ω. Считать, что в начальный момент времени вектор ω направлен по оси х.

1.50. Тело участвует в двух вращениях, происходящих со скоростями ω1 = at2ex и ω2 = 2at2ey. а) На какой угол φ повернется тело за первые 3,00 с? б) Вокруг какой оси произойдет этот поворот?

1.51. Якорь электромотора, вращавшийся с частотой n = 50 с-1 , двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав полное число оборотов N = 1680. Найти угловое ускорение β якоря.

1.52. До начала торможения автомобиль имел скорость v0 = 60 км/ч. После начала торможения автомобиль двигался прямолинейно с непостоянным ускорением и остановился спустя время t = 3,00 с. За это время он прошел путь s = 20,0 м. Определить среднюю угловую скорость <ω> и среднее угловое ускорение <β> колеса автомобиля за время торможения. Радиус колеса R = 0,23 м.

1.53. Частица движется по радиусу вращающегося диска со скоростью v = 3.00 м/с. В начальный момент времени частица находится в центре диска. Угловая скорость вращения диска ω = 20,0 рад/с. Найти приближенное значение пути s, пройденного частицей в неподвижной системе отсчета за время с момента t1 = 9,00 с до момента t2 = 10,00 с.