Расскажи друзьям!

Элементы квантовой механики

83. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ = A*e-r/a, где r — расстояние электрона от ядра, a — первый боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния <r2> электрона до ядра в основном состоянии.

84. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ(r) = A/r*e-r^2/a^2, где A — нормировочный множитель, равный 1/(корень(πa)*корень(2π)); r — расстояние частицы от силового центра; a — некоторая постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния <r2> частицы до силового центра.

85. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ = A*e-r/a, где r — расстояние электрона от ядра, a — первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние rв электрона до ядра.

86. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ = A*e-r^2/(2a^2), где r — расстояние частицы от силового центра; a — некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние rв частицы до силового центра.

92. Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний для свободной частицы, движущейся вдоль оси x, а также определите посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы?

93. Волновая функция, описывающая частицу в момент времени t = 0 , имеет вид ψ(x,0) = A*e-x^2/a^2+ikx, где a и k — некоторые положительные постоянные. Определите: 1) нормировочный коэффициент A; 2) область, в которой частица локализована.

94. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" (0 <= x <= l) и решите его.

95. Частица находится в одномерной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Выведите выражение для собственных значений энергии En.

96. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид ψ(x) = A sin kx . Определите: 1) вид собственной волновой функции ψn(x); 2) коэффициент A , исходя из условия нормировки вероятностей.

97. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид ψn(x) = корень(2/l) * sin πnx/l, где l — ширина "ямы". Определите среднее значение координаты <x> электрона.

99. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии. Определите вероятность обнаружения частицы в левой трети "ямы".

100. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определите вероятность обнаружения частицы в области 3/8*l <= x <= 5/8*l.

101. Электрон находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Определите вероятность W обнаружения электрона в средней трети "ямы", если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

102. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определите, в каких точках "ямы" (0 <= х <= l) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Поясните полученный результат графически.

103. Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной "потенциальной ямы" с бесконечно высокими "стенками" дискретность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре T.

104. Докажите, что энергия свободных электронов в металле не квантуется. Примите, что ширина l прямоугольной "потенциальной ямы' с бесконечно высокими "стенками" для электрона в металле составляет 10 см.

105. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Определите, во сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней ΔEn+1,n/En частицы при переходе от n = 3 к n' = 8 . Объясните физическую сущность полученного результата.

106. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U и конечной шириной l, причем E < U. Запишите уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3.

107. Для условия задачи 106 запишите решения уравнений Шредингера для областей 1. 2 и 3. ψ-функция обычно нормируется так, что A1 = 1. Представьте графически качественный вид ψ-функций.