Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).



Постараемся понять, почему так происходит (строгое доказательство рассматривается в программе высших учебных заведений). Известно, что геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной. Значит, если производная положительна, то угол будет острым.



И получается, что график идет «в гору». Если производная отрицательна, то угол наклона будет тупым и получается, что график идет «под гору».



Промежутки возрастания и убывания называют промежутками монотонности функции.



Точка x₀  называется точкой максимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами, значение функции f(x₀)  самое большое в некоторой окрестности точки x₀.

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами значение функции f(x₀) самое маленькое в некоторой окрестности точки x₀.

На следующем графике точки -9 и 3 являются точками максимума, а точка -2 является точкой минимума.



Точки максимума или минимума называются точками экстремума.



Теорема Ферма: Если x₀ - точка экстремума непрерывной функции f(x), то f'(x₀)=0.

Геометрически это выглядит так: в точке экстремума касательная параллельна оси ОХ и, поэтому угол наклона равен 0.



Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума.