Для любых a и b верны равенства:
a2 - b2 = (a – b)(a + b) (разность квадратов)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (квадрат разности)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суммы)
Докажем каждую из этих формул.
Первую формулу будем доказывать справа налево, то есть:
(a – b)(a + b) = a (a + b) – b (a + b) = a2 + ab - ba - b2 = a2 – b2, значит и a2 - b2 = ( a – b)(a + b).
Докажем вторую формулу:
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a - b) – b(a - b) = a2 – ab - ba + b2 = a2 – 2ab + b2
Докажем третью формулу:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Эти формулы часто используются при преобразовании и упрощение алгебраических выражений.
Приведем некоторые примеры.
Пример 1:
Упростить выражение
.
Пример 2:
Найдите значение выражения
.
Как видим, формулы сокращенного умножения помогают упрощать и преобразовывать выражения.
