Уравнением  называется равенство двух алгебраических выражений. В состав этих алгебраических выражений обычно входят переменные, которые называются неизвестными.

Значения неизвестных, при которых уравнение обращается в истинное равенство, называются решениями (корнями) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни.



Уравнения могут быть как с одной, так и с несколькими переменными. Например, 2x-5=3 – это уравнение с одной переменной, x=4 его единственный корень; а x-y=0  - уравнение с двумя переменными, оно имеет бесконечно много решений, например пары (1;1), (2;2), (-101,-101)… являются его решениями.



Уравнения могут не иметь решений,  иметь одно решение или несколько решений, иметь бесконечно много решений. Уравнение, у которого нет корней, называется неразрешимым.



Примеры:

Уравнение не имеет решений в поле действительных чисел, так как корень всегда число положительное;

Уравнение имеет единственное решение в поле действительных чисел x=12;

Уравнение (x-1)(x-11)x=0 имеет три решения в поле действительных чисел x=1 x=11 и x=0;

Уравнение 0*x=0 имеет бесконечно много решений в поле действительных чисел, так как любое число, умноженное на ноль, равно нулю.



Два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот – каждое решение второго уравнения является решением первого.



Примеры:

Уравнения (x-1)(x-11)x=0 и (2x-2)(3x-33)x=0 равносильны, так как решениями и первого, и второго уравнения являются числа 1, 11 и 0. Других решений ни у того, ни у другого уравнения нет.

Уравнения x-1=0 и x²-1=0 не являются равносильными, так как решениями  первого уравнения является только число 1, а второго числа 1 и -1. При этом число -1 не является решением первого уравнения.



Иногда при решении уравнений исходное уравнение приходится заменять неравносильным ему уравнением, но таким, что все решения первого будут и решением второго. Особенно часто это приходится делать при решении иррациональных уравнений. Если применяется этот метод, то в конце решения обязательно нужно проверить простой подстановкой в исходное уравнение, не получилось ли лишних корней.



Пример.

Решить уравнение .

Чтобы избавиться от иррациональности, возведем обе части в квадрат, помня, что могут появиться лишние корни.



Проверим, нет ли лишних корней



Ответ: 0.