Передаточная функция, переходная функция, регулятор, фиксатор нулевого порядка, оптимальное управление, цифровой -фильтр В данной курсовой работе предложено синтезировать и проанализировать работу одноконтурной САУ при использовании непрерывного и цифрового регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД- закон регулирования. Оптимизация САУ производится по критерию максимальной динамической точности. В завершении был рассчитан цифровой фильтр, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Определение параметров оптимальной настройки регуляторов

Переходные процессы в замкнутой системе при использовании непрерывного регулятора и их анализ

Определение периода квантования цифрового регулятора и его параметров настройки

Анализ устойчивости САУ по критерию Джури и построение переходных процессов в цифровых системах

Расчет цифрового фильтра

Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части

Заключение

Список литературы

Приложение А

Развитие всех областей техники в настоящее время характеризуется широкой автоматизацией различных производственных процессов. При этом освобождается труд человека, повышается точность и скорость выполнения операций, что значительно повышает производительность производства.

Автоматизация обеспечивает работу таких объектов, непосредственное обслуживание которых человеком невозможно из-за вредности, отдаленности или быстрого протекания процесса.

В настоящее время резко увеличивается производство различного оборудования для автоматизации промышленности, а также внедряются новые типы автоматических устройств, основанные на последних достижениях науки и техники. Эффективное использование автоматики в народном хозяйстве возможно лишь при условии рационального решения задач на всех этапах ее разработки и освоения. Наиболее ответственным этапом при проектировании систем автоматизации является их синтез, расчет и последующий анализ, которые на сегодняшний день базируются на теории управления. Эта наука позволяет не только найти параметры, при которых система работает устойчиво, различные качественные показатели системы, но также и оптимизировать систему для более рационального использования различных ресурсов.

Определение оптимальных параметров настройки П-, ПИ-, ПИД-регуляторов производим по расширенных амплитудно-фазовым характеристикам.

Расширенной амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы называют отношение вектора гармонических вынужденных затухающих колебаний на входе к вектору гармонических затухающих колебаний на входе.

Существуют два показателя степени затухания: Y — относительная степень затухания; m — логарифмический декремент затухания, которые связаны между собой следующим далее соотношением:

, (1.1)

Из предыдущей формулы (1.1) определяем значение логарифмического декремента затухания m:

, (1.2)

Система автоматического управления будет обладать требуемой относительной степенью затухания, если расширенная амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой система автоматического управления будет проходить через точку на комплексной плоскости (-1, j0) , т.е.

W_p(m, jw) * W_o(m, jw) = -1, (1.3) или -W_p(m, jw) = 1/ W_o(m, jw) , (1.4) Для получения расширенной амплитудно-фазовой характеристики необходимо в передаточную функцию подставить: p = -mw + jw = w (j-m) .

Рис. 1.1. Структура схемы непрерывной САУ

Передаточная функция нашего исходного объекта имеет следующий далее вид:

, (1.5)

, (1.6)

Формула (1.6) представляет собой инверсную расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта.

Так как заданное значение Y = 0.96, то по формуле (1.2) определим значение m и подставим его в предыдущую формулу расширенной амплитудно-фазовой характеристики, m = 0.512.

Перед тем, как определить оптимальные параметры настройки П, ПИ, ПИД регуляторов найдем частоту среза нашего объекта.

Частота среза — это такое значение частоты w = w_c, при котором значение амплитуды на выходе не превышало бы трех процентов от амплитуды при нулевой частоте.

Запишем выражение амплитудно-фазовой характеристики нашего объекта:

, (1.7)

Амплитудно-фазовую характеристику объекта можно найти из следующей формулы:

, (1.8)

где Re(w) — вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Jm(w) — мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

.

При нулевой частоте значение амплитуды равно 3.1.

Значит необходимо найти такое w = w_с, чтобы

= 0.03*3.1 = 0.093.

Таким образом, необходимо рассчитать уравнение

, (1.9)

Решением этого уравнения является то, что мы находим следующие параметры w = 0.417, следовательно, и w_c = 0.417.

Для определения оптимальных параметров регулятора необходимо решить уравнение (1.6) . Приравняв вещественные и мнимые части в уравнении (1.6) , можно получить расчетные формулы для определения параметров регуляторов [4, ст 250]:

• П-регулятор:

• Пи-регулятор:

• Пид-регулятор:

где С₀ = 1/T_u; C₁ = K_p; C₂ = T_g.

Для ПИД-регулятора имеем два уравнения с тремя неизвестными, тогда задаемся отношением:

В этом случае расчет формулы для ПИД-регулятора принимает следующий далее вид:

где а = w(m²+1) ; ; .

Расчет оптимальных параметров настройки для П-регулятора представлен следующим образом: , (1.10)

Из второго уравнения системы (1.10) найдем w и подставим это значение в первое уравнение системы. При решении получи, что w = 0.354 и оптимальными параметрами настройки П-регулятора является значение К_р^опт = 1.01.

Рассчитываем оптимальные значения параметров настройки для ПИ-регулятора.

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находи точки С₁С₀ и С₁, соответствующие требуемой степени затухания Y. Оптимальным параметром является точка на линии, равной степени затухания С₁С₀ = f(С₁) , лежащая справа от глобального максимума. Эти параметры обеспечивают:

.

Итак, запишем далее следующую систему уравнений для Пи-регулятора:

, (1.11)

Таблица 1.2

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИ-регулятора

Рис. 1.2. График зависимости С₁С₀ = f(C₁) для Пи-регулятора

Максимальное значение функции С₁С₀ = 0.048 при С₁ = 0.694. Берем точку правее глобального максимума С₁ = 0.777, С₁С₀ = 0.0459. Решив систему уравнений (1.11) получим оптимальные параметры настройки К_р^опт = 0.777, T_u^опт = 16.928.

Рассчитываем оптимальные параметры настройка для ПИД-регулятора: , (1.12)

Для каждого значения частота от 0 до частоты среза находим точки С₁С₀ и С₁, соответствующие требуемой степени колебательности m = 0.512, решив систему (1.12) . Данные расчетов представлены в таблице 1.1. По эти данным построим график зависимости С₁С₀ = f(С₁) .

Таблица 1.1

Данные для расчета оптимальных параметров настроек ПИД-регулятора

Рис. 1.3. График зависимости С₁С₀ = f(C₁)

Нужно взять точку, лежащую справа от глобального максимума. Максимальное значение С₁С₀ =0.268, при С₁ = 1.576. Берем точку С₁С₀ = 0.2592 при С₁ =1.9456. По этим значениям определим оптимальные параметры регулятора:

Таким образом, оптимальные параметры настройки для ПИД-регулятора:

Запишем выражение передаточной функции для системы в замкнутом состоянии:

, (2.1)

где

Тогда выражение (2.1) будут иметь вид:

, (2.2)

Найдем передаточную функцию для замкнутой системы с П-регулятором, т.е. W_p(p) = К_p. К_p — оптимальное значение, найденное в первом разделе, т.е. К_p = 1.01.

Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором имеет следующий вид:

, (2.3)

Переходная функция замкнутой системы:

, (2.4)

Найдем полюса функции (2.4) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p₁ = 0; p₂ = — 0.435; p₃ = — 0.181 — j0.34; p₄ = — 0.181 + j0.34.

Переходная функция для замкнутой системы с П-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 0.757-0.052e^-0.424t * cos(0.254t) — 0.3857e^-0.181t * sin(0.354t) .

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.1.

Рис. 2.1. Переходный процесс в замкнутой системе с П-регулятором Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИ-регулятором, т.е.:

.

В качестве К_р и Т_u берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К_р = 0.777 и Т_u = 16.928. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид:

, (2.5)

Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИ-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1) :

, (2.6)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.7)

Найдем полюса функции (2.7) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p₁ = — 0.421; p₂ = — 0.075; p₃ = — 0.149 — j0.29; p₄ = — 0.149 + j0.29; p₅ = 0.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1- 0.0609e^-0.421t — 0.757e^-0.148t *cos(0.29t) -0.487^0.148t *sin(0.29t) -0.181e^-0.075t

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИ-регулятором

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы с ПИД-регулятором, т.е.:

.

В качестве К_р, Т_u и Т_g берем значения, которые были получены в первом разделе, т.е. берем К_р = 1.9456, Т_u = 7.506, и Т_g = 0.976. Тогда выражение передаточной функции имеет следующий далее вид: , (2.8)

Запишем передаточную функцию замкнутой системы с ПИД-регулятором, для этого воспользуемся формулой (2.1)

: , (2.9)

Переходная функция замкнутой системы имеет следующий вид:

, (2.10)

Найдем полюса функции (2.10) .

Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

p() = 0.

Они равны: p₁ = 0; p₂ = -0.405 — j0.116; p₃ = -0.405 + j0.116; p₄ = -0.039 — j0.192; p₅ = -0.039 + j0.192.

Переходная функция для замкнутой системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид: h(t) = 1 — 0.2927e^-0.404t*cos(0.1157t) - 0.032e^-0.404t*sin(0.1157t) - 0.6934e^-0.038t*cos(0.1918t) - 0.2055e^-0.0388t*sin(0.1918t) .

Построим переходный процесс функции, изобразим график этого процесса на рисунке 2.3.

Рис. 2.3. Переходный процесс в замкнутой системе с ПИД-регулятором

Необходимо выяснить соответствие коэффициентов неопределенного и цифрового регуляторов. Для выбора периода измерений цифрового регулятора строим амплитудно–частотную характеристику замкнутой системы и определяем частоту среза, при которой значение амплитуды на выходе не превышает три проценты от амплитуды при нулевом значении частоты.

Для этого возьмем передаточные функции замкнутой системы (для всех типов регуляторов) , которые были найдены во втором задании курсовой работы.

Передаточная функция замкнутой системы с П-регулятором:

, (3.1)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ– регулятором:

, (3.2)

Передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором:

, (3.3)

Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с П-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.4)

Выражение амплитудно-частотной характеристики для системы с ПИ-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.5)

Выражение амплитудно — частотной характеристики для системы с ПИД-регулятором будет иметь следующий вид:

. (3.6)

Так как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида: . (3.7) При решении уравнений было получено:

• -частота среза для системы, имеющей в своем составе П-регулятор w_с = 2.25;
• -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИ-регулятор w_с = 1.6738;
• -частота среза для системы имеющей в своем составе ПИД-регулятор w_с = 3.8194.

Частоту измерений принимают как:

, (3.8)

где w_c = 3.8194 (наибольшее значение) , при котором период квантования равен T₀ = 0.411.

Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.

В общем виде дискретную передаточную функцию искомого элемента можно записать следующим образом:

. (3.9)

В нашем случае выражение (3.9) примет вид:

, (3.10)

где ; ; .

C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.

Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:

• П-регулятор

W_p(p) = 1.01; (3.11)

• ПИ-регулятор

; (3.12)

• ПИД-регулятор

. (3.13)

После вычисления коэффициентов q₀, q₁ и q₂ дискретные передаточные функции будут иметь вид:

• П-регулятор

; (3.14)

• ПИ-регулятор

; (3.15)

• ПИД-регулятор

. (3.17)

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора) , фиксатора и приведенной непрерывной части.

Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:

, (4.1)

то с учетом того, что z = e ^–pT, эту функцию можно записать в следующем далее виде:

. (4.2)

Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:

. (4.3)

Так как , переходная функция линейной части системы, то z — передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:

. (4.4)

Найдем выражение для передаточной функции линейной части:

. (4.5)

Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следующего уравнения:

() *р = 0.

Решив данное уравнение, мы получили, что его корни следующего вида: p₁ = 0; p₂ = — 0,2; p₃ = — 0,33; p₄= -0,25.

Переходная функция линейной части имеет следующий вид: h(t) = -21,93e^-0.2t –4.03e^-0.33t +22.86e^-0.25t +3.1. (4.6) С учетом формулы (4.4) получаем

.

После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:

. (4.7)

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной части и передаточной функции цифрового фильтра:

. (4.8)

Дискретная передаточная функция замкнутой системы:

. (4.9)

Определим значение W₃(z) для каждой из систем:

• система с П-регулятором. W_р(z) = 1.01, W_{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

; (4.10)

• система с ПИ-регулятором.

;

W_{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

; (4.11)

• система с ПИД-регулятором.

,

W_{н. ч.} (z) — определена по формуле (4.7) , тогда:

. (4.12)

После того, как получим выражение дискретных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.

Критерий устойчивости заключается в следующем.

Пусть задан А(z) — характкристический полином: A(z) = a₀zⁿ + a₁^n-1 + … + a_n, a₀ > 0.

Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке: A(z) = a_nzⁿ + a_n-1^n-1 + … + a₀.

Разделим A(z) на обратный ему. В итоге получаем частное от деления число q₀ и остаток А₁(z) — полином n-1 степени.

Домножим полученный результат на z^-1. Получаем: A₁(z) = (a₀-a_nq₀) z^n-1 + … + (a_n-1-a₁q₀) .

Затем делим остаток A₁(z) на обратный ему A₁₀(z) и определяем новое q₁ и A₂(z) и т.д.

Выполняя деление полиномов A_i(z) на обратные ему A_i0(z) , получаем последовательность чисел q_i = {q₀, q₁, q₂, …, q_n-2}.

Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства: А(1) =(a₀+ a₁+ a₂+…+a_n) >0; (-1) ⁿА(-1) =(a₀(-1) ⁿ + a₁(-1) ^n-1 +…+a_n) >0; |q_i|<1, i=0,1,2, …, n-2.

Используя вышеизложенное, определим устойчивость наших систем.

Система с П-регулятором.

Характеристический полином имеет следующий вид: А(1) = 1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817=0.003039>0.

(-1) ³A(-1) = -(1 — 2.7544 + 2.5359 — 0.7817) >0.

А(z) = z³-2.7544z²+2.5359z — 0.7817 Обратный полином .

Разделим A(z) на A₀(z) .

0,3852z-0,7686z²+0,3888z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₁(z) = 0,3852-0,7686z+0,3888z², A₁₀(z) = 0,3888-0,7686z+0,3852z².

Разделим A₁(z) на A₁₀(z) .

-0.00718z+0.00723z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₂(z) = 0.007238z-0.007187.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

Система с ПИ-регулятором.

Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=4. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂}.

А(1) = >0.

(-1) ⁴A(-1) = >0.

.

Обратный полином: .

Разделим A(z) на A₀(z) .

-0,383z+1.147z²-1.1506z³+0,3861 z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₁(z) = -0,383+1.147z-1.1506z² +0,3861 z³, A₁₀(z) = -0,361+1.1506z-1.147z² +0,383 z³.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z) .

0,006046z-0,01207z²+0,00605z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₂(z) = 0,006046z-0,01207z²+0,00605z³, A₂₀(z) = 0,00605-0,005474z²-0,006046z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z) .

-0,000027278z+0,000027353z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₃(z) = -0,000027278z+0,000027353z²

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше еденицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

Система с ПИД-регулятором.

Характеристический полином имеет вид: Степень полинома n=5. Множество q_i = {q₀, q₁, q₂, q₃}.

А(1) =>0.

(-1) ⁵A(-1) =>0.

, Обратный полином: .

Разделим A(z) на A₀(z) .

0,7347z-3,1644z²+5,102835z³-3,6802818z⁴+0,999747z⁵

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₁(z) = 0,7347-3,1644z+5,102835z²-3,6802818z³+0,999747z⁴, A₁₀(z) = 0.99974 -3,680218z+5,1028z²-3,1644z³+0,7347z⁴.

Разделим A₁(z) на A₁₀(z) .

-0,4596z+1,3255z²-1,3545z³+0,4597z⁴

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₂(z) = -0,4596+1,3255z-1,3545z²+0,4597z³, A₂₀(z) = -0,4597+1,3545z-1,3255z²+0,4596z³.

Разделим A₂(z) на A₂₀(z) .

-0,0288981z-0,02926z²+0,91927z³

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₃(z) = -0,0288981-0,02926z+0,91927z², A₃₀(z) = 0,91927-0,02926z-0,02889881z².

Разделим A₃(z) на A₃₀(z) .

-0,0305301z+1.028762z²

Домножим полученный результат на z^-1, тогда: A₄(z) = -0,0305301+1.028762z.

В результате расчетов получили, что q₀, q₁, q₂ по модулю меньше единицы, таким образом, все три неравенства выполняются. Следовательно, цифровая система устойчива.

После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.

Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.

Eсли функция имеет m-полюсов z_k={z₁, z₂, …, z_n}, то:

, (4.13)

где A(z_k) — числитель функции W₃(z) ; B^’(z_k) — производная знаменателя функции W₃(z) ; Замкнутая система с П-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z₁ = 1; z₂ = 0,8422; z₃ = 0,954 — j0,313; z₄= 0,954 — j0,313.

Производная знаменателя функции: B^’(z) = -11.25z²+10.574z-3.317+4z³.

Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для: где a= z₁; b = z₂; c = z₃; d = z₄;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.2.

Рис. 4.2. Переходный процесс в системе с П-регулятором

Замкнутая система с ПИ-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:

;.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z₁ = 1; z₂ = 0.847; z₃ = 0.965; z₄ = 0.973 — j0.0113; z₅= 0.973 + j0.0113.

Производная знаменателя функции: B^’(z) = 5z⁴-19.027z³+27.171 z²-17.253z+4.110 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]: где а = z₁; b = z₂; c = z₃; d = z₄; e = z₅;

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.3.

Рис. 4.3. Переходный процесс в системе с ПИ-регулятором

Замкнутая система с ПИД-регулятором Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:

.

Переходная функция замкнутой системы равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Полюса функции: z₁ = 1; z₂ = -0,021; z₃ = 0,84; z₄ = 0,935-j0,171; z₅= 0,935+j0,171; z₆=0,98.

Производная знаменателя функции: B^’(z) = 6z⁵-23.347 z⁴+34.893 z³-24.39 z²+7.505z-0.660 Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13) , получим выражение для f[n]:

где а = z₁; b = z₂; c = z₃; d = z₄; e = z₅; f = z₆.

Изобразим переходный процесс на рисунке 4.4.

Рис. 4.4. Переходный процесс в системе с ПИД-регулятором

Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие: |U_m — q₀|Ј 0,05, (5.1) где U_m = 1,0.

Вычисление значения q₀ следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:

. (5.2)

Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра W_ф(z) имеет вид:

, (5.3)

где p_i = b_iq₀, i = 1,2, …, m; q_i = a_iq₀, i = 1,2, …, m;

.

Воспользовавшись формулой (4.7) для W_нч(z) , находим функции b_i, а_i и Т₀.

Для коэффициентов b_i имеем:

;(5.4)

;(5.5)

. (5.6)

Для коэффициентов а_i имеем:

;(5.7)

;(5.8)

. (5.9)

Найдем выражение для q₀:

. (5.10)

Определим Т₀ при котором выполняется условие (5.1) , для этого построим график зависимости и изобразим его на рисунке 5.1.

Рис. 5.1. График зависимости |U_m — q₀(Т₀) |

При построении графика видим, что Т₀ = 4,61, q₀(Т₀) = 1,002.

Определим коэффициенты, подставив найденное значение Т₀ в выражение (5.4) и (5.5) : b₁(Т₀) = 0,718; b₂(Т₀) = 0,332; b₃(Т₀) = -0,052; a₁(Т₀) = -0,932; a₂(Т₀) = 0,281; a₃(Т₀) = -0,027; Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.

. (5.7)

. (5.8)

Находим Z — передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле: W_p(z) = W_{н. ч.} (z) * W_ф(z) . (5.9) Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — управляющее воздействие по формуле:

, (5.10)

Определим Z — преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание — выходной сигнал по формуле:

, (5.10)

Пусть f — функция определяющая зависимость между q₀ от Т₀, т.е. q₀=f(Т₀) , тогда f ^–1 — обратная ей функция, т.е. Т₀=f ^–1(q₀) . Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизировать функцию Т₀=f ^–1(q₀) с учетом условия (5.1) .

Так как в явном виде функцию Т₀=f ^–1(q₀) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезке q₀ О [3,45; 3,55] будет при q₀=3,55.

Расчет Т₀ сводится к решению уравнения

. (5.11)

Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что Т₀ =1,25.

Подставляя значение Т₀ =1,25 в выражения (5.4) -(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.

Тогда

. (5.12)

При этом q₀ =3,540075.

Согласно формуле (5.3)

. (5.13)

Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна W_р(z) =W_нч(z) * W_ф(z) и равна

. (5.14)

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — управляющие воздействие равна

(5.15)

и равна

.

Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание — выходная величина равна

(5.16)

и равна

.

Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.

. (5.17)

Так как

, (5.18)

то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, что j (Ґ) =1, а m (Ґ) =0,4. Так как D x(Ґ) =1, а j (0_-) =0 и m (0_-) =0, то коэффициент усиления по каналу задание — выходная величина равен 1, а по каналу задание — управляющие воздействие равен 0,4.

Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна:

.

Для вычисления f[n] найдем полюса функции

.

Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса 1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции

.

Производная данного выражения равна:

.

Тогда передаточная функция примет вид

.

Изобразим переходный процесс на графике.

Рис. 5.2. Переходная функция цифрового фильтра

Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание — выходная величина и задание — управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.

Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы

.

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:

.

Значение искомой выходной величины равно

. (5.19)

Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:

каналу задание — выходная величина y[k]=0,647726Ч x[k-1] –0,620803Ч x[k-2] –0,037272Ч x[k-3] +0,149369Ч x[k-4] –0,024633Ч x[k-2] –0,001394Ч x[k-2] +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3]; · каналу задание — управляющие воздействие y[k]=3,540075Ч x[k] –10,485749Ч x[k-1] +12,686121Ч x[k-2] – –8,004397Ч x[k-3] +2,770507Ч x[k-4] –0,497542Ч x[k-5]+0,036182Ч x[k-6]+ +1,481007Ч y[k-1] –0,695097Ч y[k-2]+ +0,101098Ч y[k-3].

Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.

Таблица 5.1. Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание — выходная величина

Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид: m (t) =3,54(h(t) -h(t-T₀) ) –1,703(h(t-T₀) -h(t-2* T₀) ) +(6.1) +0,758(h(t-2* T₀) -h(t-3* T₀) ) +0,4 h(t-3* T₀) , где h(t) — функция Хевисайда; T₀ — период квантования равный 1,25.

Тогда m (t) =3,54(h(t) -h(t-1,25) ) –1,703(h(t-1,25) -h(t-2,5) ) +(6.2) +0,758(h(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) .

Изобразим данное управляющее воздействие на графике.

Для нахождения реакции непрерывной линейной части на данное воздействие воспользуемся изображением Лапласа. Используя свойство линейность данного изображения и теорему запаздывания найдем, что j (t) = 3,54(g(t) — g(t-1,25) ) –1,703(g(t-1,25) -g(t-2,5) ) +(6.3) +0,758(g(t-2,5) -h(t-3,75) ) +0,4 h(t-3,75) , где g(t) =f(t) h(t) ,

– переходная функция линейной части, найденная нами в пункте 4.

Изобразим реакцию непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие.

Рис. 6.2. Реакция непрерывной линейной части на оптимальное управляющие воздействие На этом все построения окончены.

В данной курсовой работе был сделан синтез и анализ оптимальной одноконтурной САУ при использовании трех типов регуляторов, реализующих П-, ПИ- и ПИД-закон регулирования. Проведены сравнительный характеристики данных типов регуляторов и был сделан вывод, что ПИД-закон регулирования является наилучшим среди рассмотренных.

Были проведены расчеты по использованию данных регуляторов в цифровых системах. Как показали расчеты, несмотря на то, что цифровые системы — это системы дискретного действия и действуют через определенные промежутки времени, переходные процессы в цифровых системах не сильно отличаются от переходных процессов в непрерывных системах, а конечное состояние выходной величины одинаково. Кроме того, развитие микропроцессорной техники и использование теории управления в цифровых системах позволяют создать регуляторы различной сложности и с заранее заданных свойствами. Один из регуляторов, обеспечивающий перевод системы из одного состояния в другое за минимальное число периодов квантования при наличии ограничения на управляющие воздействие, был синтезирован в данной курсовой работе.

Список литературы

1. Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. “Элементы автоматики” . — М. Машиностроение, 1970.
2. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть I. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1990.
3. Пугачев В. И. Методические указания по курсу “Теория автоматического управления” для студентов всех форм обучения специальности 21.01 — автоматика и управление в технических системах. Часть III. — Краснодарский политехнический институт. Краснодар, 1995.