Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e"x?E $u: ?x-u?

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L?E, "e?(0,1) $ze?EL ?ze?=1 r(ze,L)>1-e

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если "x?E $u?L: ?x-u?

Теорема: Чтобы L было плотно в H ? ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор – Ax?Ax₀ при x? x₀

Определение:L(X,Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - "¦x??1 $с: ?Ax??c

Теорема: A – ограниченный ?"x?X ?Ax??c?x?

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен ? чтобы он была ограничен

Теорема: {A_n} равномерно ограничена ? {A_n}- ограничена.

Теорема: {A_nx} – ограниченно ? {?A_n?}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ?A_n-A??0, n??, обозначают A_n?A

Определение: Слабая сходимость - "x?X ?(A_n-A)x?_Y?0, n??

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ? {A_n} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза A_n?A n?? слабо ? 1) {?A_n?}- ограничена 2) A_n?A, x’?X, x’=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)?Y, D(A)?X ?$ A’:X?Y 1) A’x=Ax, x?D(A) 2) ?A’?=?A?

Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ?x(t)??a

Определение: Равностепенная непрерывность "t₁,t₂$d: ?x(t₁)-x(t₂)?

Теорема:L(X,Y) полное, если Y – полное.

Определение: Ядро – {x?X | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X^*:=L(X,E)

Определение: Сопряженный оператор A^*: Y^*?X^*

Теорема: Банаха A:X?Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A^-1 и ограничен.

Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1-ограничен.

Теорема: A^-1$ и ограничен ?$m>0 "x?X ?Ax??m?x?

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X?Y – линейный ограниченный функционал ?$! y?H "x?H f(x)=(x,y)

Определение: M?X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. M?X компактно ?"e>0 $ конечная e-сеть

Теорема: Арцела. M?C[a,b] компактно ? все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:s(X,Y) – подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. A?s(X,Y) ? A^*?s(X^*,Y^*)

Линейные нормированные пространства

1. Пространства векторов

сферическая норма

кубическая норма

ромбическая норма

p>1

2. Пространства последовательностей

p>1

или пространство ограниченных последовательностей



пространство последовательностей, сходящихся к нулю



пространство сходящихся последовательностей



3. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

?_p[a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

- пополнение ?_p[a,b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p,q>0

Неравенство Минковского