Отображения в пространстве R(p1,p2)
§1. Пространство R(p1,p2).
А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r = {a,`e}, где а и`e соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q`e , d`e= W`e (1),
причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D q = qÙW , DW=WÙW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2`e + 1/6d3`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.
Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2 прямой А1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.
Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.
Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по отношению к р1р2.
§ 2. Отображение f.
А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,`ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=Wjej ; d`ej= Wj k;
DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в пространстве R(p1,p2):f:A2®R(p1,p2).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
Q+W=ljWj; Q-W=mjWj (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1: R(p1,p2)®A2 обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :
Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
lklj+mkmj=djk
ljlj=1
mjmj=1 (*)
ljmj=0
mjlj=0
Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
D(λjWj-W-Q)=0,
получаем :
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
D(μjWj+W-Q)=0
получаем :
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:
Q+W=λjWj
Q-W=μjWj
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWj
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λj,μj} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :
dλk^Wjk+λkdWjk+14(λjμk-λkμj)^Wk+14(λjμk-λkμj)dWk+dλjk^Wk+λjkdWk=0.
получим:
(dλjt-λktWjk-λjkWtk+14(λkμjt-μkλjk)Wk+116λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0
dμk^Wjk+μkdWjk+14d(λjμk-λkμj)^Wk+14(λjμk-λkμj)dWk+dμjk^Wk+μjkdWk=0
получим:
(dμjt-μktWjk-μjtWtk+14(λkμjt-μkλjt)Wk+116λtμk(λj-μj)Wk)^Wt=0
обозначим:
λj=dλj-λtWjt
μj=dμj-μtWjt
λjk=dλjk-λtkWkt-λjtWkt
μjk=dμtkWjt-μjtWkt
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
Q+W=λjWj
Q-W=μjWj
dλj=λkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+λjkWk
dμj=μkWjk+14(λjμk-λkμj)Wk+μjkWk (4)
λjk=(14(μαλjk-λαμjk)+116λkμα(μj-λj)+λjkα)Wα
μjk=(14(μαλjk-λαμjk)+116λkμα(μj-λj)+μjkα)Wα
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λj,μj,λjk,μjk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :
ГР={λj,μj,λj1j2,μj1j2,...,λj1j2...jp,μj1j2...jp}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λj},{μj} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
λjXj=1 ; μjXj=1 (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λj,μj} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λj,μj} охватываются объектом Г1.
Из (*) получаем:
dλj=-λkWkj-14(λj+μj)μtWt-λktλkλtWt-μktWt^λkμj
dμj=-μkWkj-λktμkλjWt-μktμkμjWt+14λt(λj+μj)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.
Предположение 1.Конец вектора v1=λjej(вектора v2=μjej) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:
λjXj=0 , μjXj = 0 (7).
Предположение 2. Основные векторы {λj} и {μj} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
λjXj=1
V2
V1μjXj=1
Система величин ρj=λj-μj образует ковектор: dρj=ρkWjk+(μjk-λjk)Wk.
Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).
Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) содержащее элементы (р1,р2) определяемое условием: (р1*,р2*)∈W↔p1*p2*=p1p2.
Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W) многообразия W при отображении f.
Доказательство:
] (p1*,p2*)∈W и p1*=p1+dp1+12d2p1+... ,
p2*=p2+dp2+12d2p2+... .
Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)∈W↔W=0.
Из (2) получим: W=ρ1Wj
Следовательно, (р1*р2*)∈W равносильно ρjWj=0 (9)
Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента (р1,р2)∈R(p1p2) определяется функция h: (p1*p2*)∈h(p1p2)→e∈R, так, что р1*р2*=е р1р2
В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).
]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие элемент (р1р2) и определяемые соответственно уравнениями:
(p1*,p2*)єW1↔p2*=p2.
(p1*,p2*)єW2↔p1*=p1.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.
Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:
λjWj=0
μjWj=0.
Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p2), содержащее (р1р2) и определяемое условием: (p1*p2*)єW0↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р2*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.
Предложение 3. Прямая (λj+μj)X-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1(W0) многообразия W0 при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (λj+μj)Wj=0.
Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1(W1), f-1(W2), f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.
Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.
Рассмотрим отображения:
П1: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p1∊A1 (5.1)
П2: (р1,р2)∊R(p1,p2)→p2∊A1 (5.2)
Отображение f: A2→R(p1,p2) порождает точечные отображения:
φ1=П1∘f: A2→A1 (5.3)
φ2=П2∘f: A2→A1 (5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λj,λjk} и Г2,2={μj,μjk} объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ1 и φ2.
В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:
x=1+λjXj+1/2λjkXjXk+1/4λyρkXjXk+<3>, (5.5)
y=-1+μjXj+1/2μjkXjXk+1/4μyρkXjXk+<3>, (5.6)
Введем системы величин:
Λjk=λjk+1/4(λjρk+λkρj),
Μjk=μjk+1/4(μjρk+μkρj)
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:
x=1+λjXj+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.7)
y=-1+μjXj+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:
λ1 λ2 1 0
=
μ1 μ2 0 1
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.
Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:
x=1+X1+1/2ΛjkXjXk+<3> (5.9),
y=-1+X2+1/2ΜjkXjXk+<3> (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
Gjk=1/2(λjμk+λkμj)
Из (3.1) получим:
dGjk=1/2(dλjμk+λjμk+dλkμj+λkdμj)=1/2(μkλtWjt+1/4λjμkμtWt-14μkμtλtWt+μkλjtWt+λjμtWkt+
+1/4λjλkμtWt-1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWt+μjλktWt+λkμtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λkλtμjWt+
+λkμjtWt),
dGjk=1/2(μkλt+λkμt)Wjt+1/2(λjμt+λtμj)Wkt+GjktWt,
где Gjkt=1/2(μkλjt+λyμkt+μjλkt+λkμjt-1/2μjμkλt+1/2λjλkμt-1/4λjμkλt+1/4λjμkμt+1/4μjλkμt-
-1/4μjλkλt) (6.3).
Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:
dS2=GjkWjWk (6.4)
Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS2=θ2-W2 (6.5) в R(p1,p2).
Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или
λjWjμkWk=0 (6.6)
Предложение: Основные векторы V1 и V2 определяют асимптотические направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U’) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU’)
Теорема: Метрика dS2=θ2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .
Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2
Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем
dS2=θ2-W2
Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={λj,μj,λjk,μjk}.
Он определяется формулой: Гljk=λjΛjk+μlΜjk-λlλtλk+μlμtμk.
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
gjk=λjλk+μjμk (7.1)
Из (3.1) получаем:
dgjk=dλjλk+dλkλj+dμjμk+dμkμj=λkλtWjt+1/4λkλjμtWt-1/4λjλtμjWt+λkλjtWt+λjλtWkt+
+1/4λjλkμtWt-1/4λjλtμkWt+λjλktWt+μkμtWjt+1/4μkλjμtWt-1/4μkλtμjWt+μkμjtWt+
+μjμtWkt+1/4μjλkμtWt-1/4μjλtμkWt+μjμktWt.
dgjk=(λkλt+μkμt)Wjt+(λjλt+μjμt)Wkt+gjktWt, (7.2)
где gjkt=1/2λjλkμt-1/2μjμkλt-1/4λkλtμj-1/4λjλtμk+1/4λjμkμt+1/4μjλkμt+λkλjt+λjλkt+
+μkμjt+μjμkt (7.3)
Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А2инвариантную метрику g:
dS2=gjkWjWk (6’.4)
Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6’.4) соответствует при отображении f метрике:
dS2=2(θ2+W2) (6’.5)
в R(p1,p2)
Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
GjkXjXk=1 (6’.6)
или (λjXj)2+(μjXj)2=1 (6’.7)
Из (6’.7) вытекает:
Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.
V1
V2 рис.3.
Пусть gjk=λjλk+μjμk (6.8)
В силу (2.7) имеем:
gjtgtk=(λjλt+μjμt)(λtλk+μtμk)=λjλk+μjμk=δkj (6’.9)
Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к gjk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.
Предложение 7.2: Поле основного вектора {λj} (вектора {μj}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λj} (ковектора {μj}).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.
Доказательство:
λjλkgjk=λjλkλjλk+λjλkμjμk=1,
μjμkgjk=μjμkλjλk+μjμkμjμk=1,
λjμkgjk=λjμkλjλk+λjμkμjμk=0.
Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).
В работе <2> был построен охват объекта
γjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)
римановой связности γ фундаментальным объектом
Г2={λj,μj,Λjk,Μjk}
Он определяется формулой:
γjkl=λlΛjk+μlMjk+Gjk(λl-μl)+1/2(λl+μl)(μjμk-λjλk),
где Gjk=1/2(λjμk+λkμj).