Расскажи друзьям!

Приближенный метод решения интеграллов

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЛОВ.

Задачи различных областей человеческой деятельности зачастую сводятся к решению определенного интеграла, где f(x) - функция, непрерывная на отрезке [a; b], по формуле Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления данного интеграла применяют приближенные формулы, т.е. используют метод прямоугольников (правых, левых, средних). При вычислении интеграла необходима помнить следующее: если f(x)>=0 на отрезке [a; b], то результат вычисления будет численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b. Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции.

Покажем на примере: разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2*h, ... , xn-1=a+(n-1)*h; xn=b. Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1, x2, ... , xn .Построить прямоугольники можно воспользовавшись несколькими методами:

  • Левые прямоугольники (построение слева на право)
  • Правые прямоугольники (построение справа на лево)
  • Средние прямоугольники (построение посредине)

Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяют площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников.

Сделаем вывод: вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников, где h=(b-a)/n –ширина прямоугольников.

Формула средних прямоугольников: Sсредих= (Sправых + Sлевых) /2

МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

Создадим программу решения интегралов методом левых прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

Program levii;{Метод левых прямоугольников}
uses crt;
var i,n:integer; a,b,h,x,xb,s:real;
function f(x:real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write("Введите нижний предел интегрирования "); readln(a);
write("Введите верхний предел интегрирования "); readln(b);
write("Введите количество отрезков "); readln(n);
h:=(b-a)/n; s:=0; xb:=a;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*h; s:=s+f(x)*h; end;
writeln("Интеграл равен ",s:12:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S= 18,077

a=1 b=2 n=20 S= 18, 208

a=1 b=2 n=100 S= 18, 270

МЕТОД СРЕДНИХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

Создадим программу решения интегралов методом средних прямоугольников и результаты выведем на экран, в результате чего получим следующее…

Program srednii; {Метод средних прямоугольников}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb : real;
function f(x : real):real;
begin f:=(1/x)*sin(3.14*x/2); end;
begin
clrscr;
write("Введите нижний предел интегрирования "); readln(a);
write("Введите верхний предел интегрирования "); readln(b);
write("Введите количество отрезков "); readln(n);
dx:=(b-a)/n; xb:=a+dx/2;
for i:=0 to n-1 do
begin x:=xb+i*dx; s:=s+f(x)*dx; end;
write("Интеграл равен ",s:15:10); readln;
end.

a=1 b=2 n=10 S=18,07667

a=1 b=2 n=20 S=18,368

a=1 b=2 n=100 S= 18,156

ВЫВОДЫ

Из рассмотренных выше примеров легко заметить, что при вычислении определенных интегралов методами прямоугольников мы не можем достигнуть точного значения, т.е. чем больше значение n, тем точнее значение интеграла.