1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

● Средняя и мгновенная скорости материальной точки

где Δr – элементарное перемещение точки за промежуток времени Δt; r – радиус-вектор точки; Δs – путь, пройденный точкой за промежуток времени Δt.

● Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

● Полное ускорение при криволинейном движении

где – тангенциальная составляющая ускорения; – нормальная составляющая ускорения ( r – радиус  кривизны траектории в данной точке).

● Путь и скорость для равнопеременного движения

υ = υ₀ ± at,

где υ₀ – начальная скорость.

● Угловая скорость

● Угловое ускорение

● Угловая скорость для равномерного вращательного движения

где T – период вращения; n – частота вращения ( n = N / t , где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ).

● Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

где ω₀ – начальная угловая скорость.

● Связь между линейными и угловыми величинами

s = Rϕ; v = Rω; a_τ = Rε; a_n = ω²R.

где R – расстояние от оси вращения.

1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

● Импульс (количество движения) материальной точки

p = mv .

● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

● Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

● Сила трения скольжения

F_тр = fN ,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

● Сила трения качения

F_тр = f_кN / r ,

где f – коэффициент трения качения; r – радиус качающегося тела.

● Закон сохранения импульса для замкнутой системы

где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

● Координаты центра масс системы материальных точек:

где m_i – масса i-й материальной точки; x_C , y_C , z_C – ее координаты.

● Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского)

ma = F + F_p ,

где реактивная сила ( u – скорость истечения газов из ракеты).

● Формула Циолковского для определения скорости ракеты

где m₀ – начальная масса ракеты.

1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

● Работа, совершаемая постоянной силой

dA = Fdr = F_sds = Fds cosα ,

где F_s – проекция силы на направление перемещения; α – угол между направлениями силы и перемещения.

● Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

● Средняя мощность за промежуток времени Δt

〈N = ΔA / Δt .

● Мгновенная мощность

П = mgh,

где g – ускорение свободного падения.

● Сила упругости

F = −kx ,

где х – деформация; k – коэффициент упругости.

● Потенциальная энергия упругодеформированного тела

П = kx² / 2 .

● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

T + П = Е = const .

● Коэффициент восстановления

ε = υ′_n / υ_n ,

где υ′_n и υ_n – соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.

● Скорости двух тел массами m₁ и m₂ после абсолютно упругого центрального удара:

где υ₁ и υ₂ – скорости тел до удара.

● Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

● Момент инерции материальной точки

J = mr² ,

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

● Момент инерции системы (тела)

где r_i – расстояние материальной точки массой m_i до оси вращения.

В случае непрерывного распределения масс J = ∫ r²dm .

● Теорема Штейнера

J = J_С + ma²,

где J_C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.

● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z ,

T_вр = J_z ω² / 2 ,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость.

● Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где m – масса тела; υ_C – скорость центра масс тела; J_C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω – угловая скорость тела.

● Момент силы относительно неподвижной точки

M = [rF] ,

где r – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F.

● Модуль момента силы

M = Fl ,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

● Работа при вращении тела

dA = M_zdϕ ,

где dϕ – угол поворота тела; M_z – момент силы относительно оси z .

● Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где r_i – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; m_iυ_i – импульс этой частицы; J_z – момент инерции тела относительно оси z ; ω – его угловая скорость.

● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где ε – угловое ускорение; J_z – момент инерции тела относительно оси z .

● Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы

L = const.

● Напряжение при упругой деформации

σ = F / S,

где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.

● Относительное продольное растяжение (сжатие)

ε = Δl / l,

где Δl – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

● Относительное поперечное растяжение (сжатие)

ε' = Δd / d,

где Δd – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.

● Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε' и относительным продольным растяжением (сжатием) ε

ε' = με,

● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

σ = Eε,

где Е – модуль Юнга.

● Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня

где V – объем тела.

1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

● Третий закон Кеплера

где T₁ и T₂ – периоды обращения планет вокруг Солнца; R₁ и R₂ – большие полуоси их орбит.

● Закон всемирного тяготения

где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m₁ и m₂ , r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.

● Сила тяжести

P = mg ,

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.

● Напряженность поля тяготения

g = F/m ,

где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.

● Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 , находящихся на расстоянии r друг от друга,

П = −Gm₁m₂ / r .

● Потенциал поля тяготения

ϕ = П/m ,

где П – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.

● Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью

где i, j, k – единичные векторы координатных осей.

● Первая и вторая космические скорости

где R₀ – радиус Земли.

● Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета

ma′ = ma + F_ин ,

где a и a′ – соответственно ускорение тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, Fин – силы инерции.

● Силы инерции

F_ин = F_и + F_ц + F_к ,

где F_и – силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении системы отсчета с ускорением а₀: F_и = –ma₀; F_ц – центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): F_ц = –mω²R; F_к – кориолисова сила инерции (силы инерции, действующие на тело, движущееся со скоростью v′ во вращающейся системе отсчета:

F_к = 2m[v′ω].

1.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

● Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h

p = ρgh ,

где р – плотность жидкости.

● Закон Архимеда

F_А = ρgV ,

где F_А – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости.

● Уравнение неразрывности

Sυ = const ,

где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости.

● Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости

где р – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ² / 2 – динамическое давление жидкости для этого же сечения; h – высота, на которой расположено сечение; ρgh – гидростатическое давление.

Для трубки тока, расположенной горизонтально,

● Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

● Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

где η – динамическая вязкость жидкости; Δυ/ Δx – градиент скорости; S – площадь соприкасающихся слоев.

● Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,

Re = ρ < υ > d /η ,

где ρ – плотность жидкости; < υ > – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы.

● Формула Стокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

F = 6πηrυ ,

где r – радиус шарика; υ – его скорость.

● Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,

V = πR⁴Δpt /(8ηl) ,

где R – радиус трубки; Δp – разность давлений на концах трубки.

● Лобовое сопротивление

где C_x – безразмерный коэффициент сопротивления; ρ – плотность среды; υ – скорость движения тела; S – площадь наибольшего поперечного сечения

тела.

● Подъемная сила

где C_y – безразмерный коэффициент подъемной силы.

1.7. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

● Преобразования Лоренца

где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью υ в положительном направлении оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, а оси y′ и y , z′ и z – параллельны; c – скорость распространения света в вакууме.

● Релятивистское замедление хода часов

где τ – промежуток времени между двумя событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами; τ′ – промежуток времени между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами.

● Релятивистское (лоренцево) сокращение длины

где l₀ – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой стержень покоится (собственная длина); l – длина стержня, измеренная в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью υ .

● Релятивистский закон сложения скоростей

где предполагается, что система отсчета K′ движется со скоростью υ в положительном направления оси x системы отсчета K , причем оси x′ и x совпадают, оси y′ и y , z′ и z – параллельны.

● Интервал s₁₂ между событиями (инвариантная величина)

где t₁₂ – промежуток времени между событиями 1 и 2; l₁₂ – расстояние между точками, где произошли события.

● Масса релятивистской частицы и релятивистский импульс

где m₀ – масса покоя.

● Основной закон релятивистской динамики

где p – релятивистский импульс частицы.

● Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы

E = mc² = m₀c² +T , T = (m−m₀) c² .

● Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

● Энергия связи системы

где m_0i – масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; M₀ – масса покоя системы, состоящей из n частиц.