Расскажи друзьям!

Признаки делимости на 5, 10

На 10 делятся те числа, которые состоят из полных десятков: 10, 20, 1080, 1899960 и т.д.

Каждое из этих чисел заканчивается на 0. Для того чтобы любое из этих чисел разделить на 10, достаточно отбросить этот 0.

1899960 : 10 = 18996.

Число делится на 10, если оно заканчивается на 0.

Число не делится на 10, если его запись заканчивается любой цифрой, кроме 0.

Теперь сформулируем признак делимости на 5.

Число делится на 5, если его запись заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Доказательство:

пусть запись числа имеет вид к1 к2 к3 к4… кn , где к1, к2, к3,  к4,… кn - некоторые цифры от 0 до 9, при этом цифра кn – 0 или 5. Тогда число можно представить в виде к1 • 10n-1+ к2 • 10n-2 +к3 •10n-3+… +кn  (например, число 6380 = 6 • 103 + 3 • 102+ 8 • 10 + 0). Очевидно, что первые слагаемые этой суммы делятся на 10, а значит и на  5. А последнее слагаемое – это 5 или 0 по условию.

5 : 5=1, 0 : 5=0 – то есть, это слагаемое делится на 5. Следовательно, число делится на 5.

Число не делится на 5, если его запись заканчивается любой цифрой, отличной от 0 или 5.

Доказательство:

пусть запись числа имеет вид к1 к2 к3 к4… к1n, где к1, к2, к3,  к4,… кn - некоторые цифры от 0 до 9, при этом цифра кn ? 0 и кn ? 5. Тогда число можно представить в видек1•10n-1 + к2•10n-2 + к3•10n-3 +… + кn  (например, число 6383 = 6 • 103 + 3 • 102 + 8 • 10 + 3). Очевидно, что первые слагаемые этой суммы делятся на 10, а значит и на 5. А последнее слагаемое – это 1, 2, 3, 4, 6,7, 8 или 9 по условию. Ни одна из этих цифр не делится на 5 без остатка. Следовательно, не делится и на 5.

Примеры:

Число 125670 делится и на 5, и на 10, так как заканчивается на 0;

Число 1235 делится на 5, так как заканчивается на 5, но не делится на 10, так как не заканчивается на 0;

Число 893 не делится ни на 5, ни на 10, так как не заканчивается ни на 5, ни на 0.