Расскажи друзьям!

Решение неравенств методом интервалов

Неравенства вида (x-a1)k1 • (x-a2)k2 • ... • (x-an)kn > 0, k1, k2, kn ∈ N ( знак может быть не только “>”, но и “<”, и “⩽”, и “⩾”) решаются следующим способом :

1. Разбиваем числовую ось точками a1, a2 … an на промежутки. Если стоят знаки “⩽”, или “⩾” эти точки входят в интервал – на рисунке их закрашиваем.

2. На каждом из получившихся промежутков выражение (x-a1)k1 • (x-a2)k2 • ... • (x-an)kn не меняет знак, поэтому определяем знак – “+” или “-“, определяя знак выражения в одной из точек каждого промежутка. На рисунке ставим над промежутком соответствующий знак

3. Если знак неравенства > или ⩾, то решением будет объединение тех промежутков, над которыми стоял знак “+”. Если знак неравенства < или ⩽, то решением будет объединение тех промежутков, над которыми стоял знак “-”.

 

Пример. Решить неравенство (x+3)(x-11)(x-5)2(x+6)3 ⩾ 0.

Разбиваем числовую прямую точками -3, 11, 5, -6 на промежутки (так как знак неравенства , эти точки закрашиваем).

График

Расставляем знаки:

Из промежутка (-∞; -6] возьмем точку -100, выражение (-100+3)(-100-11)(-100-5)2(-100+6)3 отрицательно, значит, ставим знак “-”.

Из промежутка [-6; -3] возьмем точку -5, выражение (-5+3)(-5-11)(-5-5)2(-5+6)3 положительно, значит ставим знак “+”.

Из промежутка [-3; 5] возьмем точку 0, выражение (0+3)(0-11)(0-5)2(0+6)3 отрицательно, значит, ставим знак “-”.

Из промежутка [5; 11] возьмем точку 10, выражение (10+3)(10-11)(10-5)2(10+6)3 отрицательно, значит, ставим знак “-”.

Из промежутка [11; +∞) возьмем точку 100, выражение (100+3)(100-11)(100-5)2(100+6)3 положительно, значит, ставим знак “+”.

Расставляем знаки.

График

Итак, решением будет промежуток [-6; -3] ∪ [11; +∞) ∪ {5}. Про точку 5 нельзя забывать, так как она тоже обращает неравенство в истинное. Это очень распространенная ошибка.

 

Методом интервалов можно решать и неравенства вида

Неравенство

Здесь разбиваем числовую ось на промежутки точками a1, a2 … an и b1, b2 … b5. Точки a1, a2 … an закрашиваем или не закрашиваем, в зависимости от того является неравенство строгим или нет. А точки b1, b2 … bне закрашиваем никогда, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

 

Пример:

Решить неравенство Неравенство.

Разбиваем координатную ось на промежутки точками -4, 1, 10. Точки -4 и 1 закрашиваем, а точку 10 – нет.

График

Расставляем знаки, как в предыдущем примере.

По рисунку видим, что решением будет промежуток [-4; 1] ∪ (10; +∞).

Ответ: x ∈ [-4; 1] ∪ (10; +∞).